19. A soma dos dois primeiros termos de umaprogressão aritmética é 46 e o seu vigésimo termo é208. A razão dessa progressão
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Denilson, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que a soma dos dois primeiros termos de uma progressão aritmética é 46 e o seu vigésimo termo é 208. Qual é a razão dessa progressão aritmética?
ii) Veja como é simples. Tem-se que a soma dos dois primeiros termos é igual a "46". Logo, teremos isto:
a₁ + a₂ = 46 ----- mas note que a₂ = a₁ + r (ou seja é igual ao primeiro termo mais a razão da PA). Então teremos isto:
a₁ + a₁+r = 46 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
2a₁ + r = 46 . (I)
iii) Agora vamos para a outra informação segundo a qual o seu vigésimo termo (a₂₀) é igual a 208. Então temos que:
a₂₀ = 208 ----- mas note que a₂₀ = a₁ + 19r (ou seja, o 20º termo é igual ao primeiro termo mais 19 vezes a razão (r). Então ficaremos assim:
a₁ + 19r = 208 . (II)
iv) Agora note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) e que são estas:
{2a₁ + r = 46 . (I)
{a₁ + 19r = 208 . (II)
Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "-2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (I). Então fazendo isso, teremos:
2a₁ + r = 46 -------- [esta é a expressão (I) normal]
-2a₁-38r = -416 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-2"]
------------------------------- somando-se membro a membro, ficaremos com:
0 - 37r = - 370 ---- ou apenas:
-37r = - 370 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
37r = 370 ----- isolando "r", teremos:
r = 370/37 ----- note que esta divisão dá exatamente igual a "10". Logo:
r = 10 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é o valor da razão da PA da sua questão. ₁
v) Bem, a questão pede apenas o valor da razão (r) e isso já foi dado aí em cima. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver qual será essa PA. Para isso, vamos encontrar qual é o 1º termo (a₁). Então basta substituirmos a razão "r" por "10" em quaisquer uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "r' por "10". Vamos na expressão (I), que é esta:
2a₁ + r = 46 ---- substituindo-se "r" por "10", teremos:
2a₁ + 10 = 46 ---- passando "10" para o 2º membor, temos:
2a₁ = 46 - 10
2a₁ = 36 ---- isolando "a₁", teremos:
a₁ = 36/2
a₁ = 18 <--- Este é o valor do primeiro termo (a₁).
Assim, a PA da sua questão terá a seguinte conformação até o seu 20º termo. Note que basta, a partir do 1º termo (18), irmos somando a razão igual a (10). Veja:
(18; 28; 38; 48; 58; 68; 78; 88; 98; 108; 118; 128; 138; 148; 158; 168; 178; 188; 198; 208) <--- Pronto. Esta é a conformação da PA da sua questão até o 20º termo. E note que, realmente, o 20º termo é igual a "208". Mas isso só fizemos por mera curiosidade, pois a questão pede apenas o valor da razão,ok?
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.