Question

18 – Qual é a solução da equação $\begin{gathered} \begin{gathered} \:   \overline{ \boxed{\boxed{ \begin{array}{r}\mathsf{ \dfrac{1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{3}{x \: - \: 2} \: - \: \dfrac{2}{x \: - \: 3} }\end{array}}}} \end{gathered}  \end{gathered}$ ?​

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos chegar a conclusão de que esta subtração de frações $\boxed{\bf x = -1}$

Um breve resumo das ferramentas que usaremos está neste "sumário".

• Resumo:

$\begin{cases}{\bf1)}\: m\acute{e}todo\: da\:borboleta\\{\bf2)}\:distributiva\end{cases}$

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: \: \boxed{ \bf\frac{1}{ x - 1} = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 3} }$

Para resolver este tipo de equação, podemos utilizar uma técnica chamada de soma ou subtração através do método da borboleta, sendo este dado por:

$\: \: \: \: \: \: \bullet \bf \: \: \: \: \: \frac{ \red a}{ \blue b} \pm \frac{ \blue c}{ \red d} = \frac{ \red a. \red d \pm \blue b. \blue c}{ \blue b . \red d}$

• Ou seja, basta fazer uma multiplicação meio que cruzada dos números ou expressões que façam parte das relações.

Para fixar, vamos fazer um exemplo com números reais e inteiro, com o intuito de aprender a aplicar este método da maneira correta.

${ \bf {ex}} : \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \: \to \: \begin{cases}a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \: \begin{cases}c = 1 \\ d = 3 \end{cases} \\ \\ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{1.3 + 2.1}{2.3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$

Sabendo como aplicar este método, vamos partir para o cálculo da expressão fornecida.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \frac{1}{ x - 1} = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 3}$

Como no primeiro membro não temos soma ou subtração de frações, então vamos nos deter a aplicação do método da borboleta no segundo membro. Logo:

$\frac{1}{ x - 1} = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 3} \: \to\: \begin{cases}a = 3\\ b = x - 2 \end{cases} \: \begin{cases} c = 2 \\ b = x - 3\end{cases} \\ \\ \frac{1}{x - 1} = \frac{3.(x - 3) - 2.(x - 2)}{(x - 2).(x - 3)}$

Expandindo a expressão através da regra da distributiva, isto é:

$\boxed{a\:.\:(b+c) = a.b+a.c}\\ ou \\ \boxed{(a+b)\:.\:(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d}$

• O termo que está fora multiplica os termos que estão dentro do parêntese.

$\frac{1}{x - 1} = \frac{3x - 9 - 2x + 4}{(x - 2).(x - 3)} \: \to \: \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 5}{(x - 2).(x - 3)} \\ \\ ( x - 2).(x - 3) = (x - 1).(x - 5)$

Expandindo mais uma vez:

$\begin{cases}( x - 2).(x - 3) = (x - 1).(x - 5) \\ x.x - 3.x - 2.x + ( - 2).( - 3) = x.x - 5.x - 1.x + ( - 5).( - 1) \\ x {}^{2} - 3x - 2x + 6 = x {}^{2} - 5x - 1x + 5 \\ x {}^{2} - 5x + 6 = x {}^{2} - 6x + 5 \\ x {}^{2} - x {}^{2} - 5x + 6x = 5 - 6 \\ \boxed{x = - 1} \end{cases}$

Espero ter ajudado

Para mais exemplos, acesse:

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