Question

17 Sabendo que os lados de um eneágono regular me- dem 0,3 m, determine: a) A medida de seu ângulo central. b) A medida de seu apótema (em metros) e sua área (em metros quadrados). (Dica: Você pode transformar as medidas em centímetros, fazer as contas e, no final, expressar o resultado na unidade pedida.) ​

Answer 1

a) O ângulo central do eneágono mede 40°.

b) Seu apótema mede aproximadamente 0,4167 m.

Sua área mede 0,5625 m² aproximadamente.

Polígono regular

a) Como o polígono é regular, a medida de seu ângulo central pode ser obtida dividindo-se 360° pelo número de lados (há um ângulo central oposto a cada lado). Como o eneágono tem 9 lados, temos:

Ac = 360°

          9

Ac = 40°

b) O apótema do eneágono corresponde a um dos catetos do triângulo retângulo. O outro cateto é a metade da medida do lado desse polígono. Como o lado mede 0,3 m ou 30 cm, a metade é 15 cm.

Usando a relação tangente, temos:

tangente θ =  cateto oposto  

                      cateto adjacente

tg 20° = 15

              a

0,36 = 15

           a

a = 15

    0,36

a ≈ 41,67 cm

Em metros, fica: 0,4167 m.

A área do eneágono corresponde a nove vezes a área do triângulo OAB.

Área do triângulo OAB

At = 30 x 41,67

              2

At = 1250,10

             2

At = 625,05 cm²

A área do eneágono será:

Ae = 9 x 625,05

Ae = 5625,05 cm²

Em metros quadrados, fica:

0,5625 m²

Mais sobre eneágono regular em:

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#SPJ1

Answer 2

Após a reaiização dos cálculos, podemos concluir que

a) O ângulo central será de 40°

b) A medida do apótema é de 41,66 cm

c) área do eneágono é de 0,56241 m²

Área do polígono regular inscrito

Área do polígono regular inscrito na circunferência

Dado um

polígono regular

de n lados podemos calcular o ângulo central deste polígono dividindo 360º pelo número de lados. ou seja

$\sf a_c=\dfrac{360^\circ}{n}$ note que independente do valor de n, a metade do ângulo central

é sempre a medida oposta a metade do valor de n, e o apótema será sempre o

cateto adjacente

em relação ao ângulo central tomado pela metade. podemos então utilizar

razões trigonométricas

para estabelecer relações entre o

apótema,

a metade do lado do polígono e o raio da circunferência

na qual está inscrito a figura. A medida da área deste polígono regular inscrito é dado por

$\sf A=p\cdot a$ em que p representa o semiperímetro e a o apótema.

Relação entre o cm² e o m²

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 1\,m^2=10\,000\,cm^2\end{array}}$

Vamos a resolução da questão

• Cálculo do semiperímetro:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf p=\dfrac{9\cdot\diagdown\!\!\!\!\!\!30}{\backslash\!\!\!\!\!2}\\\\\sf p=9\cdot15\\\sf p=135\,cm\end{array}}$

• Cálculo do apótema do eneágono

:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf tg(20^\circ)\dfrac{15}{a}\\\\\sf0,36=\dfrac{15}{a}\\\\\sf 0,36a=15\\\sf a=\dfrac{15}{0,36}\\\\\sf a=41,66\,cm\end{array}}$

• A área do polígono é dada por

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A=p\cdot a\\\sf A=135\cdot41,66\\\sf A=5624,1\,cm^2\div10000\\\sf A=0,56241\,m^2\end{array}}$

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