Question

17. (PUCPR-2019) Trabalhando juntas, duas
máquinas fazem um determinado trabalho em
quatro horas a menos do que a mais rápida delas
levaria para fazê-lo sozinha. A mais lenta dentre
as duas, por sua vez, para fazer sozinha esse
mesmo trabalho, levaria cinco horas a mais do
que levaria sozinha a mais rápida. Quanto tempo
é necessário para que, juntas, essas máquinas
possam efetuar dois desses trabalhos?

A. 10 horas
B. 12 horas
C. 15 horas
D. 18 horas
E. 20 horas​

Answer 1

Resposta:

B. 12 horas

Explicação passo-a-passo:

Chame de x o número de horas que ambas demoram pra fazer o trabalho juntas.

Então elas produzem 1/x a cada hora trabalhando juntas.

A mais rápida leva 4 horas a mais pra fazer a mesma quantidade de trabalho, logo x+4 horas. Logo a mais rápida produz a cada hora 1/(x+4).

A mais lenta leva 5 horas a mais pra fazer a mesma quantidade de trabalho do que a mais rápida (que já demora x+4 para fazer),

logo x+4+5=x+9 horas. Assim, a mais lenta produz a cada hora 1/(x+9).

Mas somando a produção da maquina mais lenta e da maquina mais rápida, temos a produção das duas trabalhando juntas, logo:

$\frac{1}{x}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+9}\\\frac{1}{x}= \frac{x+9+x+4}{(x+4)(x+9)}\\\frac{1}{x}=\frac{2x+13}{x^2+13x+36}\\x^2+13x+36=2x^2+13x\\x^2-36=0\\x=\pm6$,mas como x é positivo (por ser uma quantidade de horas), x=6

Logo, para efetuar um trabalho demora 6 horas, para dois trabalhos juntas elas demorariam 12 horas (B)