Matemática, perguntado por ferrazlivia, 3 meses atrás

16. (UEL-PR) - Um terreno possui a forma de um trapézio
isósceles ABCD, conforme a figura a seguir.
D
B
A base maior DC tem 64 metros; a base menor AB tem 28
metros e a altura do trapézio é igual a 49 metros. O dono
do terreno deseja dividi-lo em dois polígonos de áreas equi-
valentes e com mesmo perímetro. Para efetuar esta divisão
deverá traçar um segmento de reta PQ. O ponto P deverá
estar na base maior DC a uma distância de 24 metros do
vértice C e o ponto Q sobre a base menor AB.
al 18 metros;
d) 24 metros;
C
Nestas condições, a distância do ponto Q ao vértice B deve-
rá ser igual a:
b) 20 metros;
e) 28 metros.
c) 22 metros;
tensivo Modular

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por 1Archimidean1

Resposta:

22 metros

Explicação passo a passo:

Veja pela figura que anexei, que ao traçarmos o segmento PQ, dividimos a figura em dois trapézios. Pelo enunciado, sabemos que as áreas deles precisam ser iguais.

Sabemos também que a medida do segmento CP vale 24 metros.

Na parte de cima, como não sabemos as medidas, eu dividi a base menor em duas: x e y. Veja que a medida que nos interessa é a que vai de B até Q, ou seja, a medida x.

Porém, x + y é a medida da base menor do trapézio completo, então:

$x+y=28m$

A área do trapézio é dada pela equação: $\frac{(B+b)*h}{2}$ , onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura.

Fazendo a área do trapézio da direita:

$S_1=\frac{(40+y)*49}{2}$

Fazendo a área do trapézio da esquerda:

$S_2=\frac{(24+x)*49}{2}$

Porém, as áreas são iguais, então $S_1=S_2$

$\frac{(40+y)*49}{2}=\frac{(24+x)*49}{2}$

Podemos cancelar o 2 e o 49 em ambos os lados, já que se trata de uma igualdade. Então:

$40+y=24+x(1)$

Lá em cima, vimos que $x+y=28$ . Isolando o x, temos: $x=28-y(2)$

Substituindo a equação (2) na equação (1):

$40+y=24+x\\\\40+y=24+28-y\\\\2y=12\\\\y=\frac{12}{2}\\\\y=6$

Se y é 6 e x + y = 28, então:

x + 6 = 28

x = 28 - 6

x = 22

Anexos:

Respondido por procentaury

A distância do ponto Q ao vértice B deverá ser igual a 22 m.

A área do trapézio é o produto entre a média das bases e sua altura.

$\large \text {$ \sf A = \dfrac{B+b}{2}\cdot h $}$

Observe que os terrenos terão áreas trapezoidais de mesma altura (h) e, se suas áreas são equivalentes então:

$\large \text {$ \sf \dfrac{B_1+b_1}{2}\cdot h = \dfrac{B_2+b_2}{2}\cdot h \qquad \Longrightarrow \qquad$ \sf Simplifique.}$

B₁ + b₁ = B₂ + b₂

Portanto para que as áreas sejam equivalentes basta que a soma das bases sejam iguais. Observe também que se o trapézio é isósceles então as medidas dos lados dos dois terrenos são iguais e portanto seus perímetros também serão iguais.
Observe a figura anexa e substitua os valores.

B₁ + b₁ = B₂ + b₂

24 + x = 40 + 28 − x ⟹ Subtraia x de ambos os membros.

24 + 2x = 40 + 28 ⟹ Subtraia 24 de ambos os membros.

2x = 40 + 4

2x = 44 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

x = 22 m

A distância do ponto Q ao vértice B deverá ser igual a 22 m.

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