Question

16 – Determine a solução das seguintes equações fracionárias:

$\begin{gathered} \begin{gathered}\large \: a) \: \: \:   \overline{ \boxed{\boxed{ \begin{array}{r}\mathsf{ \dfrac{2}{x \: - \: 2} \: - \: \dfrac{1}{x \: + \: 2 \: } \: = \: \dfrac{1}{x} }\end{array}}}} \end{gathered}  \end{gathered}$

$\begin{gathered} \begin{gathered}\large \: b) \: \: \:   \overline{ \boxed{\boxed{ \begin{array}{r}\mathsf{ \dfrac{4}{ {x}^{2} \: - \: 4 } \: + \: \dfrac{1}{x \: + \: 2} \: = \: \dfrac{1}{x} }\end{array}}}} \end{gathered}  \end{gathered}$​

Answer 1

$\displaystyle \sf a)\\\\\ \frac{2}{x-2}-\frac{1}{x+2} = \frac{1}{x} \\\\\\ \frac{2\cdot (x+2)-(x-2)}{(x-2)\cdot (x+2)} = \frac{1}{x} \\\\\\ \frac{2x+4-x+2}{x^2-4 }=\frac{1}{x} \\\\\\\ \frac{x+6}{x^2-4} = \frac{1}{x} \ \to \ (x+6)\cdot x= x^2-4 \\\\\\ x^2+6x= x^2-4 \\\\ 6x = -4 \\\\ x = \frac{-4}{6} \\\\\\ \huge\boxed{\sf \ x = \frac{-2}{3}\ }\checkmark$

$\displaystyle \sf b)\\\\ \frac{4}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x} \\\\\\ \frac{4}{(x+2)\cdot (x-2)}+\frac{1\cdot (x-2)}{(x+2)\cdot (x-2)}=\frac{1}{x} \\\\\\ \frac{4+x-2}{x^2-4}=\frac{1}{x} \\\\\\ \frac{x+2}{x^2-4}=\frac{1}{x} \\\\\\ \frac{x+2}{(x-2)\cdot (x+2)}=\frac{1}{x} \ \ \to \ x+2 \neq 0 \ \ ;\ \ x-2 \neq 0 \ ; \ x \neq 0 \\\\\\ \frac{1}{x-2}=\frac{1}{x} \\\\\\ x = x-2 \\\\ 0 = - 2 \ (ABSURDO)$

SEM SOLUÇÃO

Answer 2

Usando as regras para tornar frações com mesmo denominador, analisando a fração final, obtém-se:

a) x = - 2/3

b) não tem solução

As regras para resolver equações fracionárias são muito semelhantes às de resolução de equações sem incógnita no denominador.

• fazer com que todas as frações tenham o mesmo denominador
• passar para o primeiro membro todas elas
• usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica
• simplificar o mais possível
• nunca retirar o denominador da expressão final

a)

Como ( x - 2 ) ; ( x + 2 ) e x são expressões sem nada em comum.

o M.M.C. entre elas é o produto delas :

$( x - 2 ) \cdot ( x + 2 ) \cdot x$

Deste modo faremos as multiplicações necessárias em cada fração para que o denominador das três frações venha igual.

$\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}\\\\~\\\dfrac{2\cdot(x+2)\cdot x}{(x-2)\cdot(x+2)\cdot x}-\dfrac{1\cdot(x-2)\cdot x}{(x-2)\cdot(x+2)\cdot x}-\dfrac{1\dot(x-2)\cdot(x+2)}{(x-2)\cdot(x+2)\cdot x}=0\\\\~\\\dfrac{(2x+4)\cdot x}{(x^2-2^2)\cdot x} -\dfrac{x^2-2x}{(x^2-4)\cdot x}-\dfrac{(x^2-4)}{(x^2-4)\cdot x}=0\\\\~\\\\\dfrac{2x^2+4x-(x^2-2x)-(x^2-4)}{(x^2-4)\cdot x}=0\\\\~\\\dfrac{2x^2+4x-x^2+2x-x^2+4}{(x^2-4)\cdot x}=0\\\\~\\\dfrac{6x+4}{(x^2-4)\cdot x}=0$

Para que esta fração seja igual a zero, o numerador tem de ser zero e esse valor não anular o denominador.

$6x+4=0\\~\\6x = -4\\~\\x=-\dfrac{4}{6}\\~\\\boxed{x=-\dfrac{2}{3}}$

Verificar se $-\dfrac{2}{3}$  não anula o denominador.

$((-\dfrac{2}{3})^2-4)\cdot (-\dfrac{2}{3}) =(\dfrac{4}{9}-4)\cdot(-\dfrac{2}{3} )=(\dfrac{4}{9}-\dfrac{36}{9} )\cdot (-\dfrac{2}{3})=(-\dfrac{32}{9})\cdot (-\dfrac{2}{3}) =\dfrac{64}{27}$

Como o valor encontrado para anular o numerador, não anula o denominador, está encontrada a solução.

b)

Nesta equação temos três denominadores.

• $x^2-4=(x+2)\cdot(x-2)$
• $x+2$
• $x$

$M.M.C = (x+2)\cdot(x-2)\cdot x$

Para que fiquem todas as frações com o mesmo denominador, temos que multiplicar o numerador e denominador de cada pelas corretas expressão :

• primeira fração por $x$
• segunda fração por $(x-2)\cdot x$
• terceira fração por $(x^2-4)$

Observação

$(x^2-4)=(x+2)\cdot(x-2)$

$\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}\\~\\\\\dfrac{4\cdot x}{(x^2-4)\cdot x}+\dfrac{1\cdot x\cdot(x-2)}{(x+2)\cdot x(x-2)}-\dfrac{x^2-4}{x\cdot(x^2-4)}=0\\~\\\\\dfrac{4x+x^2-2x-(x^2-4)}{x\cdot (x^2-4)}=0\\~\\\\\dfrac{2x+x^2-x^2+4}{x\cdot(x^2-4)}=0\\~\\\\\dfrac{2x+4}{x\cdot(x^2-4)}=0$

$2x+4=0\\~\\2x=-4\\~\\x=-\dfrac{4}{2} \\~\\x =-2$

Verificar se " -2 " não anula o denominador.

$((-2)^2-4)\cdot (-2)=(4-4)\cdot (-2)=0$

Assim sendo esta equação não tem solução.

Ver mais sobre equações fracionárias com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/7889472?referrer=searchResults

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Bons estudos.

Att Duarte Morgado

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Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.