Matemática, perguntado por izabellaluisapereira, 5 meses atrás

16. Considere ø(n) (leia-se teta de n) soma dos divisores positivos do número n, com n pertencente ao conjunto dos números naturais. Por exemplo, quando n = 6, 0(n) é dado pela soma de todos os divisores de 6, de modo que: 0(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Então, quando n = 30, ø(n) é:

A) 42.
B) 72.
C) 82.
D) 92.
E) 102.

Deixa calculo (só responder no dia 09/06 por favor)

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor da soma de todos os divisores do número 30 é igual a 72, ou seja, a alternativa b) está correta.

Divisores de um número:

Um divisor é um número que pode dividir exatamente outro número, ou seja, o resto é 0, sem usar a vírgula. Os números podem ser classificados de duas maneiras, dependendo do número de divisores que possui.

Números simples são números que só têm 2 divisores no máximo, um número simples é 3 pois só tem dois divisores, estes são 1 e ele mesmo.

Números compostos são aqueles que possuem muito mais divisores, um exemplo de número composto pode ser 6, pois eles possuem 4 inteiros positivos como divisor ( $\mathbb{Z}^+$ )

Os divisores também têm suas próprias propriedades, são elas:

Todo número sempre terá o número 1 como divisor.

Todo número é divisível por ele mesmo.

Os divisores de um número são finitos (com começo e fim).

Tendo tudo isso em mente, podemos encontrar a solução para o nosso problema.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema diz que consideramos a expressão $\phi (n)$ como a soma dos divisores positivos de um número natural. Um exemplo que nos deixa com o problema é quando n = 6, se n = 6 a expressão $\phi (6)$ é dada como a soma de todos os divisores do número 6, ou seja que: $\phi (6)= 1 + 2 + 3 + 6=12$

Então, levando isso em consideração, ele nos pede para calcular a soma de todos os divisores do número 30.

Lembremos que por propriedades sabe-se que como divisores 30 tem como divisores o número 1 e 30.

O número 30 tem muito mais divisores, não só tem o número 1 e 30, isso significa que é um número composto, vemos que 30 pode ser divisível por 2, se fizermos essa divisão obtemos o resultado:

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{array}{r|l}\sf 30&\sf \!\!\!\underline{~\,2 \kern30pt }\\\sf \underline{ -2}~~~&\sf 15\\\sf 10\:\:&\\\sf \underline { - 10}&\\\sf0\!\!\!&\end{array}\end{gathered} \end{gathered}$

Vemos que 2 pode dividir 30, pois deu o número 0 como resto, também o quociente que obtivemos da divisão também será um divisor de 30, pois dividir 30 por 15 nos dá um quociente de 2.

Se dividirmos 30 por 3 teremos como resultado:

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{array}{r|l}\sf 30&\sf \!\!\!\underline{~\,3 \kern30pt }\\\sf \underline{ -3}~~~&\sf 10\\\sf 00\:\:&\\\sf \underline { - 00}&\\\sf0\!\!\!&\end{array}\end{gathered} \end{gathered}$

Novamente obtivemos o número 0 como resto, pelo quociente desta divisão podemos afirmar que 3 e 10 também são divisores de 30. O próximo número é 4, este é divisível por 30, mas com a desvantagem de não ser um número inteiro. Se fizermos a divisão teremos:

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{array}{r|l}\sf 30&\sf \!\!\!\underline{~\,4 \kern30pt }\\\sf \underline{ -28}~~~&\sf 7{,}5\\\sf 020\:\:&\\\sf \underline { - 20}&\\\sf0\!\!\!&\end{array}\end{gathered} \end{gathered}$

Como o problema só nos pede a soma dos divisores inteiros positivos do número 30, podemos descartar 4. Agora vamos dividir 30 por 5, fazendo a divisão:

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{array}{r|l}\sf 30&\sf \!\!\!\underline{~\,5 \kern30pt }\\\sf \underline{ -30}&\sf 5\\\sf 0\!\!\!&\end{array}\end{gathered} \end{gathered}$

Portanto, 5 e 6 também são divisores de 30, neste momento vemos que os números têm apenas uma pequena diferença de 1, isso significa que os outros divisores só darão um número com uma vírgula. Se somarmos todos os divisores, a resposta é obtida:

$\phi (30)= 1 + 2+ 3 +5+ 6+10+15+30\\\\ \boxed{\boxed{\bf \phi (30)=72}}$