Question

Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial. Assim, dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: 1. Para quaisquer u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W. 2. Para quaisquer a ∈ K, u ∈ W tivermos a.u ∈ W. Verificar que os seguintes subconjuntos R3 são ou não são subespaços vetoriais de S = {(x, y, z) ∈ R3 | (2x +3y – 4z = 0)}}. A seguir identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais: O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y - 4z=0} de R3 não satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R. O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y - 4z=0} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R. O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y - 4z=0} de R3 não satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R, por pertencer a subespaços próprios. O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y - 4z=0} de R3 satisfaz apenas uma das condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R. O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x - 3y + 4z = 10} de R3 satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de R3 sobre R.

Answer 1

Um subespaço vetorial é um espaço vetorial contido em outro espaço vetorial maior. Os subespaços vetoriais herdam propriedades do espaço vetorial pai e por isso, para determinar se um subconjunto de vetores é um subespaço vetorial basta verificar o cumprimento de apenas dois axiomas, são eles:

• Se $u,v\in W$ então $u+v\in W$, ou seja, W é fechado sob a soma.

• Se $u \in W$ e $\alpha \in K$ então $\alpha u \in W$ , ou seja, W é fechado sob o produto escalar.

Queremos mostrar que o espaço vetorial definido como $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | 2x + 3y - 4z=0\}$ é um subespaço vetorial do espaço vetorial V definido como $\mathbb{R}^3$, para provar que S é um subespaço vetorial de V, primeiro mostre que o espaço vetorial S é fechado sob a soma dos vetores u e v.

• Suponha que o vetor u e v sejam definidos na forma:

$\begin{cases} u =(x _1, y_1, z_1)\\\\ v=(x_2,y_2,z_2)\end{cases}\\\\ Portanto ~temos ~que:~~~ \begin{cases} 2x_1+3y_1-4z_1=0\\\\ 2x_2+3y_2-4z_2=0\end{cases}\\\\ Se~ realizarmos~ a ~soma~ entre ~os ~vetores ~u~ e ~v~ podemos ~verificar~ que:~~~\\\\ 2(x_1+x_2) + 3(y_1+y_2) -4(z_1+z_2)=0\\\\ (2x_1+2x_2) + (3y_1+3y_2) +(-4z_1-4z_2)=0$

Podemos alinhar os componentes de u em uma parte e os componentes de v em outra parte, de forma que obtenhamos:

$\underbrace{(2x_1+3y_1-4z_1)}_0+\underbrace{(2x_2+3y_2-4z_2)}_0=0\\\\ 0+0=0\\\\ 0=0$

Podemos verificar que o espaço vetorial S é fechado sob a soma dos vetores u e v, então o próximo passo é verificar que o espaço vetorial S é fechado sob o produto escalar. Levando em conta como o vetor u é definido, o produto escalar entre alfa e u é igual a:

$\alpha \cdot (x_1,y_1,z_1) \in V\\\\ (\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)\in V\\\\Substituindo~ os~ componentes ~de~ x, ~y~e~z ~no ~espac_{\!\!,}o~ vetorial ~S ~obtemos ~a ~express\tilde{a}o: ~~~\\\\ 2(\alpha x_1 )+ 3(\alpha y_1)-4(\alpha z_1)=0$

A varel α é um fator comum nesta expressão, então extraindo α como um fator comum temos:

$\alpha\cdot\underbrace{\left(2 x_1+ 3y_1-4 z_1\right)}_0=0\\\\ \alpha\cdot 0=0\\\\ 0=0$

Conclusão: O subconjunto $S = {(x, y, z) \in\mathbb{R^3} | 2x - 3y + 4z = 10}$ de $\mathbb{R}^3$ satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de de $\mathbb{R}^3$ sobre R.