16. A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado
por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe
que esse tabuleiro não se altera quando girado
de 90°. Quantos tabuleiros 5 x 5 formados por
quadrados pretos ou brancos não se alteram
quando girados de 90°?
(A) 25
(B) 30
(C) 64
(D) 128
(E) 192
Soluções para a tarefa
Resposta:
a resposta é a
Explicação passo a passo:
seria 64
Há exatamente 128 tabuleiros formados por quadrados pretos ou brancos que não se alteram quando girados de 90°.
Principio Multiplicativo:
O principio multiplicativo nos diz que se temos n possibilidades para escolher um elemento em um conjunto A e m possibilidades para escolher um elemento em um conjunto B então temos n*m possibilidades para formar um par (x,y) com x em A e y em B.
O fato chave para solucionar este problema é que o tabuleiro não deve ser alterado quando girado de 90º. Isto sugere que deve haver simetria entre a disposição das corres no tabuleiro.
De fato, considere o seguinte tabuleiro com o canto superior esquerdo demarcado por a:
Quando realizamos uma rotação de 90º no sentido horário obtemos:
Quando realizamos uma segunda rotação de 90º no sentido horário obtemos:
Quando realizamos uma terceira rotação de 90º no sentido horário obtemos:
E, ao rotacionarmos uma quarta vez voltamos a posição inicial. Assim, para que o tabuleiro permaneça inalterado devemos ter todas as casas onde o a apareceu com a mesma cor, isto é, nosso tabuleiro deve ter a forma:
.
Uma observação análoga, agora aplicada a casa denotada por b no tabuleiro abaixo:
mostra que todas as casas marcadas por b abaixo devem possuir a mesma cor:
.
E, de modo mais geral, todas as casas demarcadas com a mesmas letra no tabuleiro abaixo devem possuir as mesmas corres:
.
Como cada uma das seis letras a, b, c, d, e, f, g, podem ser pintadas com duas cores, branco ou preto, pelo principio multiplicativo, obtemos que há um total de 2*2*2*2*2*2 = 128 tabuleiros formados por quadrados pretos ou brancos que não se alteram quando girados de 90°.
Veja mais sobre o principio multiplicativo em:
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