Question

15)Se sen x+cosx = 1+ 3a e sen x - cos x = 1-a, determine a.
Alguém pode me ajudar?

Answer 1

sen x + cos x = 1+3a

sen x -  cos x = 1-a

A ideia aqui é elevar ambas ao quadrado, usar que 1 = sen²x + cos²x e comparar as expressões:

sen²x + 2 sen x cos x + cos²x = (1+3a)²

2 senx cosx = (1+3a)² -1

Por outro lado, elevando a segunda equação ao quadrado, obtemos

sen²x  - 2 senx cosx + cos²x = (1-a)²

-2senx cosx = (1-a)² -1

2 senx cosx = 1 - (1-a)²

Assim, comparando as duas equações que obtemos, ficamos com

1-(1-a)² = (1+3a)² -1

1 - 1 + 2a  - a² = 1 + 6a + 9a² - 1

2a - a² = 6a + 9a²

10a² + 4a = 0

2a (5a + 2) = 0

a = 0 ou a = -2/5

Answer 2

Resposta:

a=0 ou a=-2/5

Explicação passo-a-passo:

Temos basicamente um sistema:

$\left \{ {{sen(x)+cos(x)=1+3a} \atop {sen(x)-cos(x)=1-a}} \right.$, por ser um sistema trigonométrico, vamos usar a propriedade de $sen^2(x)+cos^2(x)=1$ . Para isso, vamos elevar as 2 equações ao quadrado :

$\left \{ {{(sen(x)+cos(x))^2=(1+3a)^2} \atop {(sen(x)-cos(x))^2=(1-a)^2}} \right.\\\\\left \{ {{sen^2(x)+cos^2(x)+2sen(x)cos(x)=(1+3a)^2} \atop {sen^2(x)+cos^2(x)-2sen(x)cos(x)=(1-a)^2}} \right.$, somando as 2 equações o 2sen(x)cos(x) cancela:

$2(sen^2(x)+cos^2(x))=(1+3a)^2+(1-a)^2$, como $sen^2(x)+cos^2(x)=1$:

$2=(1+3a)^2+(1-a)^2\\2=1+6a+9a^2+1-2a+a^2\\10a^2+4a=0\\a(10a+4)=0$

Assim, ou a=0 ou 10a+4=0

No segundo caso:

$10a+4=0\\10a=-4\\a=-\frac{4}{10}\\a=-\frac{2}{5}$

Logo temos essas 2 soluções.