Question

15 pontos!!

Determine a equação da elipse cujo centro é C (-2, -1), a qual passa pelos pontos A (-1, -1) e B(-2, -3), tendo os seus eixos paralelos aos eixos coordenados.

Answer 1

Olá, IllidanRAGE3419.

Sabemos que o centro da elipse, isto é, as coordenadas (x₀,y₀), tem coordenadas (-2,-1). Sabemos também que os pontos A = (-1,-1) e B = (-2,-3) fazem parte dessa elipse, ou seja, eles satisfazem a equação:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$

Para descobrir a equação da elipse, precisamos descobrir os valores de a e b. Para isto, vamos utilizar os dois pontos dados e coloca-los na equação da elipse e igualar as duas equações. Teremos:

$\frac{((-1)-(-2))^{2} }{a^{2} } + \frac{((-1)-(-1))^{2} }{b^{2} } = \frac{((-2)-(-2))^{2} }{a^{2} } + \frac{((-3)-(-1)){2} }{b^{2} }$

$\frac{1^{2} }{a^{2} } + \frac{0^{2} }{b^{2} } = \frac{0^{2} }{a^{2} } + \frac{(-2)^{2} }{b^{2} }$

$\frac{1}{a^{2} } = \frac{4}{b^{2} }$

$b^{2} = 4a^{2}$

$b = \sqrt{4a^{2} }$

$b = 2a$

Sabemos que b = 2a. 

Agora, podemos usar a equação:

a² + b² = 1

a² + 4a² = 1

5a² = 1

a² = 1 ÷ 5

a = 1 ÷ √5

a = (√5) ÷ 5

Como b = 2a, temos: 

b = (2√5)÷5

A equação da elipse será:

$\frac{((x)-(-2))^{2} }{ (\frac{ \sqrt{5}}{5})^{2} } + \frac{((y)-(-1))^{2} }{ (\frac{2 \sqrt{5} }{5})^{2} } = 1$

$5 (x+2)^{2} + \frac{5}{4} (y+1)^{2} = 1$

Espero ter ajudado.