Question

15, 20, 25, 30. Considere que cada um desses termos ocupa uma posição n nessa sequência numérica. Uma expressão algébrica que modela cada termo dessa sequência em função dessa posição n é

Answer 1

Resposta:

$a_{n} = a_{p} + (n-p)r$

Onde:

a = termo da progressão aritmética

p = posição que conhecemos

n = posição que queremos descobrir

Explicação passo a passo:

Olá!

Temos aqui uma Progressão Aritmética (P.A.).

Primeiro calculamos a razão, subtraindo um termo de seu antecessor na sequência. Assim:

r = 20 - 15

r = 5

Agora, observamos que o primeiro termo ($a_{1}$) será acrescido da razão para encontrar o segundo termo:

$a_{1} + r = a_{2}$

15 + 5 = 20

Para encontrar o terceiro termo ($a_{3}$), iremos acrescentar a razão duas vezes:

$a_{2} + r = a_{3}$

$a_{1}+r+r=a+2r=a_{3}$

O mesmo para o quarto termo ($a_{4}$) e assim por diante:

$a_{1}+r=a_{2}$

$a_{1}+r+r=a+2r=a_{3}$

$a_{1}+r+r+r=a+3r=a_{4}$

$a_{1}+r+r+r+r=a+4r=a_{5}$

Veja que adicionamos ao primeiro termo a razão, multiplicada quantas vezes forem a posição do termo que queremos alcançar, menos um. Ou seja:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$

Essa expressão modela cada termo quando conhecemos o primeiro termo da sequência. Mas, e quando não conhecemos o primeiro termo, mas conhecemos qualquer outra posição da mesma sequência?

Iremos, então modela nossa expressão da seguinte forma:

$a_{n} = a_{p} + (n-p)r$

Onde p = posição que sabemos.

Provando nossa expressão:

Vamos completar um pouco mais a sequência acima:
(15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80)

Supondo que não conhecemos o primeiro termo, mas conhecemos o terceiro (25) e queremos confirmar que o décimo segundo é igual a 70. Vamos testar nossa expressão algébrica?

$a_{n} = a_{p} + (n-p)r$

$a_{12} = a_{3} +(12-3)r$

$a_{12}=25+(9)\cdot 5$

$a_{12}=25+45$

$a_{12}=70$

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!