14. Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados. Qual é o maior número de pontos que ela pode pintar? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo a passo:
O maior número de pontos que ela pode pintar de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados é 6 pontos, alternativa C.
Ângulo Inscrito em uma circunferência:
Dizemos que um ângulo é inscrito em uma circunferência quando o seu vértice esta localizado sobre o circulo e seus lados são formados por cordas no circulo. Em um ângulo inscrito a sua medida é igual a metade da medida do arco do circulo aposto a seu vértice.
A primeira coisa que devemos fazer é descobrir quais os pontos que ao serem ligados formam um triângulo equilátero. Como os pontos estão igualmente espaçados, a distância entre eles é igual ao total que sabemos ser 360º dividido por 9. Assim, a distância entre os pontos é igual a 360º/9 = 40º.
Agora, se um vértice de um triângulo equilátero esta inscrito na circunferência, o arco oposto a este angulo deve medir 120º, pois em um triângulo equilátero todos os ângulos medem 60º e 120º = 2*60º.
Deste modo, vemos que uma forma de obter um triângulo equilátero é o triângulo vermelho mostrado na figura I abaixo . Outra forma é o triângulo verde mostrado na figura II e por fim o triângulo azul mostrado na figura III. Vemos também que estes são os únicos triângulos equiláteros possíveis de serem formados ligando os pontos.
Assim, como não devemos ter um triângulo equilátero com todos os seus vértices pintados em cada um destes três triângulos podemos pintar no máximo 2 vertices. Concluímos então que o número máximo de pontos que podem ser pintados dadas as restrições do enunciado é igual a 3*2 = 6 pontos.
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