Matemática, perguntado por ruthzerbine, 5 meses atrás

14- O resultado da operação: (x⁶-y⁶) / (x² + xy + y²) para x = 6 e y = 4 é igual a:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nerd1990

Olá, boa noite!

Para resolucionarmos a operação acima, devemos primeiramente substituir as incógnitas x e y pelos algarismo 6 e 4 sendo Y = 4 e X = 6.

$\sf \red{ \frac{\Big(x {}^{6} - y {}^{6} \Big)}{\Big(x {}^{2} + xy + y {}^{2} \Big)} } \longleftrightarrow \sf \green{\frac{\Big(6 {}^{6} - 4 {}^{6} \Big)}{\Big(6 {}^{2} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} \Big)} } \\$

Obs: Quando 2 incógnitas estão juntas, elas estão se multiplicando logo XY = X • Y.

Agora iremos remover os parênteses já que neste caso especificamente eles são desnecessários.

$\sf \frac{ \cancel{\Big(} 6 {}^{6} - 4 {}^{6} \cancel{ \Big)}}{ \cancel{\Big(}6 {}^{2} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} \cancel{ \Big)}} \\ \\ \\ \sf \frac{ \red6 {}^{6} - 4 {}^{6} }{6 {}^{2} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} }$

Bom, logo após a remoção dos parênteses iremos fatorizar o número 6 que está localizado no numerador da fração.

$\sf \frac{ \green{(3 \cdot2)} {}^{6} - \red4 {}^{6} }{6 {}^{2} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} } \\$

Agora iremos reescrever o número 4 em forma exponencial com a base 2.

$\sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - \Big(2^{2} \Big)^{6} }{6 {}^{2} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} } \\ \\ \\ \sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - 2 {}^{2 \cdot6} }{6 {}^{2} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} } \\ \\ \\ \sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - \green{ 2 {}^{12}} }{ \red{6 {}^{2}} + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} }$

Agora iremos resolucionar a potência do número 6 que está localizado no denominador da fração.

$\sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - 2 {}^{12} }{6 \cdot6 + 6 \cdot4 + 4 {}^{2} } \\ \\ \\ \sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - 2 {}^{12} }{ \green{36} + \red{ 6 \cdot4} + 4 {}^{2} }$

Agora iremos calcular a multiplicação dos números 6 e 4.

$\sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - 2 {}^{12} }{36 + \green{24} + \red{4 {}^{2}} } \\$

Agora iremos resolucionar a potência do número 4.

$\sf \frac{ \red{(3 \cdot2) {}^{6}} - 2 {}^{12} }{36 + 24 + 4 \cdot4} \\ \\ \\ \sf \frac{(3 \cdot2) {}^{6} - 2 {}^{12} }{36 + 24 + \green{16}}$

Para elevar um produto a uma potência, devemos elevar cada um dos fatores desse produto a essa potência.

$\sf \frac{ \green{3 {}^6 \cdot2 {}^6} - 2 {}^{12} }{ \red{36 + 24 + 16}} \\$

Agora iremos calcular a soma dos números positivos.

$\sf \frac{3 {}^{6} \cdot 2 {}^{6} - 2 {}^{12} }{60 + 16} \\ \\ \\ \sf \frac{ \red{3 {}^6 \cdot2 {}^{6} - 2 {}^{12}} }{ \green{76}}$

Para facilitar os cálculos iremos fatorizar a expressão ultilizando a fórmula $\sf r {}^{a + b} = r {}^{a} \cdot r {}^{b}$ .

$\sf \frac{3 {}^{6 } \cdot2 {}^{6} - 2 {}^{6 + 6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{3 {}^{6} \cdot2 {}^{6} - 2 {}^{6} \cdot2 {}^{6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{ \green{\Big(}\red{3 {}^{6}} \green{- 2 {}^{6} \Big) \cdot2 {}^{6}} }{76}$

Agora iremos resolucionar a potência do número 3.

$\sf \frac{\Big( 3 \cdot3 \cdot3 \cdot3 \cdot3 \cdot3- 2 {}^{6}\Big) \cdot2 {}^6 }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big( 9 \cdot3 \cdot3 \cdot3 \cdot3- 2 {}^{6}\Big) \cdot2 {}^6 }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big( 27 \cdot3 \cdot3 \cdot3- 2 {}^{6}\Big) \cdot2 {}^6 }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big( 81 \cdot3 \cdot3- 2 {}^{6}\Big) \cdot2 {}^6 }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big( 243 \cdot3- 2 {}^{6}\Big) \cdot2 {}^6 }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big( \green{729}- \red{ 2 {}^{6}}\Big) \cdot2 {}^6 }{76}$

Logo após resolucionar a potência do número 3 iremos resolucionar a potência do número 2.

$\sf \frac{\Big(729 - 2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2\Big) \cdot2 {}^{6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big(729 - 4 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2\Big) \cdot2 {}^{6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big(729 - 8 \cdot2 \cdot2 \cdot2\Big) \cdot2 {}^{6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big(729 - 16 \cdot2 \cdot2\Big) \cdot2 {}^{6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\Big(729 - 32 \cdot2\Big) \cdot2 {}^{6} }{76} \\ \\ \\ \sf \frac{\red{\Big(729 - 64\Big) }\cdot2 {}^{6} }{76}$

Agora iremos efetuar a subtração dos números que estão dentro dos parênteses no caso 729 e 64.

$\sf \frac{ \green{665} \cdot2 {}^{6} }{76} \\$

Agora iremos simplificar a fração com o número 19.

$\sf \frac{ \cancel{(665 \div 19)} \cdot2 {}^{6} }{ \cancel{76 \div 19}} \\ \\ \\ \sf \frac{ \green{35} \cdot2 {}^{6} }{ \green4}$

Agora iremos representar o número 4 em forma exponencial com base 2 como fizemos mais acima para que possamos simplificar a fração dividindo os termos com a mesma base.

$\sf \frac{35 \cdot \cancel{2 {}^{6} }}{ \cancel{2 {}^{2} }} \\ \\ \\ \sf 35 \cdot2 {}^{6 - 2} \\ \\ \\ \sf 35 \cdot \green{2 {}^{4}}$