Question

13. A figura mostra três circunferências de centros O, P
e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, Be
C, como indicado. O diâmetro AD da circunferência
de centro O tangencia a circunferência de centro
Q em E. Os raios das circunferências de centro O
e de centro P medem, respectivamente, 1 e 2/3.
Qual é o raio da circunferência de centro Q?
(A)
1/5
(B) 6/25
(C) 7/25
(D) 8/25
(E) 9/25
B
A
D
O
me
E

Answer 1

A medida do raio da circunferência de centro Q é de 8/25. Alternativa D.

Teorema de Pitágoras

Toda reta tangente à circunferência faz um ângulo reto com o raio da mesma.

Dessa forma, o ângulo formado entre QE e AD é de 90º, formando dois triângulos retângulos: PEQ e QEO. Podemos assim aplicar o Teorema de Pitágoras em ambos:

• PQ = x + 2/3;
• QE = x;
• PE vamos deixar indicado.

$PE^2 = (x + \frac{2}{3})^2 - x^2\\PE^2 = x^2 + \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} - x^2\\PE^2 = \frac{12x+4}{9}\\PE = \frac{\sqrt{12x+4}}{3}$

• QO = CO - x = 1 - x;
• QE = x;
• OE vamos deixar indicado.

$OE^2 = (1-x})^2 - x^2\\OE^2 = 1 - 2x + x^2 - x^2\\OE^2 = 1 - 2x\\OE = \sqrt{1-2x}$

Equações Irracionais

Perceba que

OP = AO - AP = 1 - 2/3 = 1/3

Ao mesmo tempo,

OP = PE - OE

Ou seja:

$PE - OE = \frac{\sqrt{4 + 12x}}{3} - \sqrt{1-2x}=\frac{1}{3}\\\frac{\sqrt{4 + 12x}}{3} = \frac{1}{3} +\sqrt{1-2x} \\ \sqrt{4 + 12x} = 1 + 3\sqrt{1-2x}$

Para resolver equações com radicais, precisamos isolar um radical e elevar os dois lados da equação ao quadrado.

$4 + 12x = 1^2 + 6\sqrt{1-2x} + 9(1-2x)\\4 + 12x - 1 - 9 + 18x = 6\sqrt{1-2x}\\30x - 6 = 6\sqrt{1-2x}\\\sqrt{1-2x} = \frac{30x -6}{6}\\\sqrt{1-2x} = 5x - 1$

mais uma vez elevamos os dois lados da equação ao quadrado.

$1 - 2x = 25x^2 - 10x + 1\\25x^2 - 10x + 1 - 1 + 2x = 0\\25x^2 - 8x = 0$

Equação do segundo grau incompleta

Para resolvermos uma equação do segundo grau incompleta, faltando o termo independente, colocamos o x em evidência e lembramos que o produto de dois fatores vale zero apenas se um dos fatores vale zero.

x(25x - 8) = 0

• ou x = 0, o que é absurdo, pois o segmento tem um tamanho que não pode ser nulo
• ou 25x - 8 = 0

$25x = 8\\x = \frac{8}{25}$

Mais questões com equações irracionais e do segundo grau incompletas você pode ver em:

https://brainly.com.br/tarefa/758699

https://brainly.com.br/tarefa/51492046

#SPJ2