Question

12. Um poliedro convexo de 9 vértices é formado
apenas por faces triangulares e quadrangulares.
O número de faces triangulares e o número de
faces quadrangulares são números inteiros conse-
cutivos. Determine o número de faces e de arestas.​

Answer 1

Resposta:

número de faces = 9 número de arestas = 16

Explicação passo-a-passo:

Como o poliedro é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares então o número de faces desse poliedro é a soma das faces quadradas e triangulares:

• Numero de faces = $Fq + Ft$, sendo Fq = número de faces quadradas e Ft = número de faces triângulares.

Como o número de faces triangulares e quadrangulares são números inteiros consecutivos, então o número de faces quadrangulares é uma unidade maior que o número de faces triangulares:

• $Fq = Ft + 1$

Sabendo disso, podemos equacionar o número de faces em função de uma variável:

• $Numero de faces = F = Ft + 1 + Ft = 2Ft + 1$

Como uma face quadrada tem quatro arestas, e uma face triangular tem 3 arestas, o número de arestas desse polinômio é dado por:

$A = \frac{4*Fq + 3*Ft}{2}$, como $Fq = Ft + 1$ então A = $A =\frac{4(Ft + 1) + 3Ft}{2}$ (Obs: a divisão por 2 serve para eliminar a duplicidade na contagem de arestas);

Agora pela relação de Euler sabemos que:

$V - A + F =2$

Agora basta substituir os valores, pois sabemos que:

$A = \frac{4*(Ft +1) + 3*Ft}{2}$ , $V = 9$, $F = 2Ft + 1$

Desenvolvendo...

$9 - (\frac{4(Ft + 1 + 3Ft)}{2}) + 2Ft + 1 = 2 \\9 - (\frac{7Ft + 4}{2} + 2Ft + 1) = 2 \\9 - \frac{7Ft}{2} - 2 + 2Ft + 1 = 2\\\frac{-7ft}{2} + 2Ft = -6\\ -3Ft = -12\\Ft = 4$

$Fq = Ft + 1\\ Fq = 4 + 1 = 5$

Agora podemos calcular o número de faces e arestas:

$A = \frac{4*Fq + 3*Ft}{2}\\\\A = \frac{4*5 + 3*4}{2} = 16\\F = Fq + Ft \\F = 4+ 5 = 9$