Question

12. Um losango tem 40 cm de perímetro. Se a medida
da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal
menor, determine a área desse losango.
a) 50 cm2
b) 60 cm2
c) 70 cm2
d) 80 cm2
e) 90 cm2​

Answer 1

A área de um losango é dada por:

$A=\dfrac{D\cdot d}{2}$

Por definição, o losango possui quatro lados iguais, assim sendo, seu perímetro é quatro vezes o lado.

$P=4l\\40=4l\\l=10\text{ cm}$

Como vemos na imagem abaixo, o losango pode ser dividido em quatro triângulos retângulos iguais e, sabendo o valor da hipotenusa, podemos deduzir o valor das diagonais através do teorema de Pitágoras.

$10^2=x^2+(2x)^2\\10^2=x^2+4x^2\\10^2=5x^2$

Tirando a raiz dos dois lados:

$\sqrt{10^2}=\sqrt{5x^2}\\10=x\sqrt5\\\\x=\dfrac{10}{\sqrt5}$

Racionalizando:

$x=\dfrac{10}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5$

As diagonais valem, então:

$d=2\cdot2\sqrt5=4\sqrt5\\D=4\cdot2\sqrt5=8\sqrt5$

Calculando a área:

$A=\dfrac{4\sqrt5\cdot8\sqrt5}{2}=4\sqrt5\cdot4\sqrt5=(4\sqrt5)^2=16\cdot5=80\text{ cm}^2$

Alternativa D.