Question

12 { UCSAL 2001.1}  os valores de um função exponencial ,no caso em que a variável percorre o conjunto dos números naturais não nulos, formam uma progressão geométrica . Por exemplo , a função exponencial definida por f{x} = 5.3x -1, para x natural não  nulo a progressão  { 5, 15< 45, 135....} . A progressão geométrica  

( 1   1  ;   1    1 )   é :

  6   12   24   49

 

 a  y=  1  

           6x 

 

b  y=      2              

             3x

 

 c  y    = 1

             3.2x      

 

d y  =   1

         2. 3x

 

e  y =    3             

           2x

Answer 1

Para encontrar a razão ($q$) de uma progressão geométrica (PG) devemos fazer a razão entre um termo e o seu antecessor, pois sabemos que a fórmula do termo geral ($a_n$) de uma PG é:

$a_n=a_1.q^{n-1}$

Se fizermos a razão entre dois termos consecutivos teremos a razão ($q$). Assim:

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_1.q^{(n-1)}}{a_1.q^{[(n-1)-1]}}=\frac{1.q^(n-1)}{1.q^{(n-1)}.q^{-1}}$

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{q^(n-1)}{q^{(n-1)}.q^{-1}}=\frac{1}{1.q^{-1}}=\frac{1}{q^{-1}}=q^{1}=q$

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$

Sabendo disto basta fazer a razão entre dois termos consecutivos quaisquer desta PG. Assim:

$q=\frac{a_2}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}}$

$q=\frac{1}{12}.\frac{6}{1}$

$q=\frac{6}{12}$

$q=\frac{6}{2.6}$

$q=\frac{1}{2.1}$

$q=\frac{1}{2}$

Vamos chamar o termo geral $a_n$ de $y$. Assim:

$a_n=y$

e 

$a_1=\frac{1}{6}$

Vamos substituir os valores na fórmula do termo geral

$a_n=a_1.q^{n-1}$

$y=\frac{1}{6}.(\frac{1}{2})^{n-1}$

$y=\frac{1}{6}.\frac{1}{2^{n-1}}$

$y=\frac{1}{6}.\frac{1}{2^n.2^{-1}}$

$y=\frac{1}{6}.\frac{2^1}{2^n}$

$y=\frac{1}{6}.\frac{2}{2^n}$

$y=\frac{2}{6.2^n}$

$y=\frac{2}{2.3.2^n}$

$y=\frac{1}{1.3.2^n}$

$y=\frac{1}{3.2^n}$

Vamos chamar $n$ de $x$. Assim:

$n=x$

$y=\frac{1}{3.2^x}$

Logo a resposta é a letra c).