Question

11No triângulo ABC, o ângulo de vértice A é obtuso, BC=a e AB = AC = b . Os pontos PeQ do lado BC sào tais que BP = PA = AQ = QC .Osegmento PQ medeABCDa7-b7 aa7-b7 b2 a7+b7 ba7+2b7aa7-2b7Ea

Answer 1

Considere a figura abaixo.

Seja BP = PA = AQ = QC = x. Como BC = a, então PQ = a - 2x.

Perceba que o triângulo ΔABC é isósceles, pois AB = AC = b.

Assim, temos que a altura é justamente a mediana do triângulo, ou seja, a altura divide a base ao meio.

Considere que h é a altura do triângulo ΔABC.

Então, pelo Teorema de Pitágoras:

$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{4}$

Perceba que h também é altura do triângulo ΔAPQ.

Assim, utilizando o Teorema de Pitágoras:

$h^2 + (\frac{a-2x}{2})^2 = x^2$

$h^2 + \frac{a^2}{4} - ax + x^2 = x^2$

Ou seja,

b² - ax = 0

b² = ax

$x = \frac{b^2}{a}$

Portanto, o segmento PQ mede:

$PQ = a - 2.\frac{b^2}{a} = \frac{a^2-2b^2}{a}$

Alternativa correta: letra e).