Question

118.

Funcão do 2° grau .. 

Diga se o gráfico e uma parábola côncava para cima ou para baixo.
Ache o vértice 
Depois faça o gráfico. 

a) f(x) = -x²+5x-3

b) f(x) = 1/2x² + x + 2

Answer 1

Olá Juliavieira222,

Sabemos se a parábola do gráfico de uma função do segundo grau é voltada para cima ou para baixo de acordo com o "sinal" do coeficiente "a" dessa função.
Dessa forma, se tivermos o termo x² da questão menor do que zero (negativo), a parábola dessa função terá sua concavidade voltada para baixo. Se o termo x² for positivo, teremos a parábola voltada para cima.

Então, somente olhando as funções já podemos dizer que a função a tem sua parábola voltada para baixo e a função b tem a parábola voltada para cima.

O vértice de uma função quadrática é o ponto V(xv, yv) tal que:
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a

Sabendo que Δ = b² -4ac, basta substituir os valores conhecidos para encontrar os vértices:
a)
Xv = -5/2(-1)
Xv = -5/-2
Xv = 5/2

Yv = -(b² -4ac)/4a
Yv = -(25 -4(-1)(-3) )/4(-1)
Yv = -(25 -12)/-4
Yv = -13/-4
Yv = 13/4

Então, o vértice dessa função é o ponto V(5/2 , 13/4)

b)
Xv = -1/2(1/2)
Xv = -1/1
Xv = -1

Yv = -(b² -4ac)/4a
Yv = -(1 -4(1/2)(2) )/4(1/2)
Yv = -(1 -4)/2
Yv = 3/2
 
Então, o vértice dessa função é o ponto V(-1 , 3/2)

c) Para traçar o gráfico de uma função do segundo grau precisamos de alguns pontos notáveis: O vértice da parábola e os pontos em que ela intercepta os eixos do plano cartersiano.
Como já temos os vértice e sabemos que em uma função desse tipo o gráfico intercepta o eixo y no valor do coeficiente "c" dessa função, nos resta apenas encontrar onde serão os pontos que esses gráficos interceptarão o eixo x, ou seja, as raízes x1 e x2  dessas funções:

a)
x1 = [-b +√(b² -4ac)]/2a
x1 = -5 +√13/2(-1)
x1 = -5 +√13/-2 (aproximadamente 0,7)

x2 = [-b -√(b² -4ac)]/2a
x2 = -5 -√13/-2 (aproximadamente 4,3)

Logo, sabemos que o gráfico dessa função corta o eixo x nos pontos -5+√13/-2 e -5-√13/-2.

b)
Como vimos anteriormente, a discriminante dessa função é negativa, então seu gráfico não intercepta o eixo x em nenhum ponto.

Com isso, encontramos os gráficos que estão em anexo.

Bons estudos!