11) Uma partícula realiza MHS de período 12 s e amplitude 20 cm. Determine a posição, a velocidade e a aceleração, 2 s após ela ter passado pela posição - 10 cm com velocidade negativa.
Soluções para a tarefa
Em t=2s, x = 10cm, v = 5π√3/3 cm/s e a = -5π²/18 cm/s².
Explicação:
O MHS é descrito sempre pela equação:
x = A.cos(ωt+Ф)
Onde A é a amplitude, ω a frequência angular e Ф a fase.
Sabemos que a amplitude equivale a 20, e sabemos o período T, e como:
T = 2π/ω
Temos que ω = π/6.
Então a equação fica:
x = 20cos(πt/6+Ф)
Agora para determinarmos o valor de Ф, vamos substituir esta equação nas condições, que são de que x=-10, com velocidade negativa em t=0.
-10 = 20cos(Ф)
cos(Ф) = -1/2
E a velocidade é a derivada em relação ao tempo, da equação de MHS:
v = -(10π/3)sen(πt/6+Ф)
em t=0:
v = -(10π/3)sen(Ф) < 0 (<0, pois a velocidade é negativa neste momento).
sen(Ф) < 0
Agora sabemos que:
cos(Ф) = -1/2
sen(Ф) < 0
Para satisfazer essas condiçõesentão:
Ф = 4π/3
Sendo assim temos nossa equação MHS completa:
x = 20cos(πt/6+4π/3)
A partir desta equação, derivando temos a equação da velocidade e da aceleração:
v = -(10π/3)sen(πt/6+4π/3)
a = -(5π²/9)cos(πt/6+4π/3)
Assim em t=2:
x = 20cos(π.2/6+4π/3) = 20 . cos (5π/3) = 20 . 1/2 = 10 cm
v = -(10π/3)sen(πt/6+4π/3) = -(10π/3)sen(5π/3) = -(10π/3)(-√3/2) = 5π√3/3 cm/s
a = -(5π²/9)cos(πt/6+4π/3) = -(5π²/9) . 1/2 = -5π²/18 cm/s²