Matemática, perguntado por jessicajesus3, 11 meses atrás

11. Uma locadora de vídeo aluga 300 filmes por dia, cobrando R$ 6,00 por filme. O
proprietário observou que, reduzindo em R$ 0,50 o valor do aluguel, a locadora passaria
a alugar mais 60 filmes por dia. Supondo que a função de demanda é do primeiro grau,
determine:
a) a função de demanda;
b) quantos filmes devem se alugados para maximizar a receita;
c) que preço deve ser cobrado para maximizar a receita.​

Soluções para a tarefa

Respondido por Vulpliks
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A demanda D é escrita em função do preço, x:

D(x) = A \cdot x + B

Se cobrar R$ 6,00 por filme resulta em um aluguel de 300 filmes:

300 = A \cdot 6 + B

Isolando B:

B = 300 - 6 \cdot A

Se reduzir o preço em R$ 0,50, isto é, x = 5,5, passaria a alugar mais 60 filmes por dia, D = 360[/tex]

Teremos:

360 = A \cdot 5,5 + B

Isolando B:

B = 360 - 5,5 \cdot A

Igualando os B's das duas equações:

300 - 6 \cdot A = 360 - 5,5 \cdot A

Isolando A:

(6-5,5) \cdot A = 300 - 360

0,5 \cdot A = - 60

A = - \dfrac{60}{0,5}

A = - 120

Agora, substituindo A para encontrar B:

B = 300 - 6 \cdot (-120)

B = 300 + 720

B = 1020

a)

Assim, a função de demanda será:

\boxed{D(x) = -120 \cdot x + 1020}

*Vou calcular a c) primeiro por ser mais fácil.

c)

A receita é dada pelo produto entre Demanda (D) e preço (x):

R(x) = D(x) \cdot x

Substituindo D pela função de demanda:

R(x) = (-120 \cdot x + 1020) \cdot x

R(x) = -120 \cdot x^2 + 1020 \cdot x

Assim, como no outro exercício, a receita máxima é dada pelo vértice da parábola R(x):

x_{v} = -\dfrac{b}{2 \cdot a}

Substituindo b = 1020 e a = -120:

x_{v} = -\dfrac{1020}{2 \cdot (-120)}

x_{v} = \dfrac{1020}{240}

\boxed{x_{v} = \text{R\$} 4,25}

Esse é o preço a ser cobrado para a maior receita.

b)

Basta substituir o preço de R$ 4,25 na função da demanda D(x) e saberá qual a demanda máxima:

D_{max} = -120 \cdot 4,25 + 1020

D_{max} = -120 \cdot 4,25 + 1020

\boxed{D_{max} = 510 \text{ filmes}}


jessicajesus3: não entendi, pq causa dessa fórmula
jessicajesus3: a fórmula que meu professor deu é a que devo seguir que é p: ax+ b
jessicajesus3: oiii
jessicajesus3: tem certeza que a conta tá certa ? é que eu não entendi
jessicajesus3: tipo ali na fórmula o x é a quantidade e vc colocou o preço
Vulpliks: Na minha equação x é o preço, D é a demanda (quantidade). Os coeficientes A e B são os coeficientes angular e linear, respectivamente, da função de demanda. Se você quiser, pode fazer o inverso, colocar o preço em função da demanda, mas aí os coeficientes A e B vão ser diferentes
Vulpliks: Se você quiser fazer pelo método do seu professor, primeiro escreve x = A*D + B onde x é o preço e D a quantidade
os coeficientes serão A = -0,5/60 e B = 8,5. A função preço em função da demanda será:

x = -0,5*D/60 + 8,5.

Na letra B, multiplique D por x, e terá:

R(D) = -0,5*D^2/60 + 8,5*D

Os coeficientes a e b do vértice serão: a = -0,5/60 e b = 8,5
Vulpliks: O vértice será xv =-8,5*60/-0,5 = 510 filmes

Na letra C, basta substituir D por 510 na equação e calcular x:

x = -0,5*510/60 + 8,5 = R$ 4,25

A resposta é a mesma de um jeito ou de outro
Vulpliks: A diferença é que do meu jeito você tem a demanda em função do preço e do jeito do seu professor você tem o preço em função da demanda
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