Question

11) Qual é a posição do ponto A (5, 6) em relação à circunferência 2+2−6−12+41=0?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Limavinicius, como você informou a escrita correta da equação da circunferência, então vamos tentar resolver bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: qual é a posição do ponto A(5; 6) em relação à circunferência cuja equação é a seguinte:

x² + y² - 6x - 12y + 41 = 0

ii) Agora veja: para que possamos passar a equação geral acima para a equação reduzida, para sabermos qual é o centro e o raio da circunferência, vamos formar os quadrados comuns em equações reduzidas de circunferências. Note que quando uma circunferência tem centro em C(x₀; y₀) e raio = r, a sua equação rduzida tem a seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (I) .

iii) Vamos tomar a equação geral [x² + y² - 6x - 12y + 41 = 0] e vamos formar os quadrados para que possamos chegar à equação mostrada na expressão (I) acima. Então primeiro vamos tomar a equação dada e vamos ordenar, ficando assim:

x² - 6x + y² - 12y + 41 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão adicionados em função da formação dos quadrados. Assim teremos:

(x-3)² - 9 + (y-6)² - 36 + 41 = 0 ------ note que o "-9" e o "-36" estão sendo subtraídos porque quando formamos os quadrados eles foram adicionados. Por isso, temos que fazer a subtração: note que (x-3)² = x²-6x+9; e (y-6)² = y²-12y+36. Note que, ao formamos os quadrados  o "9" e o "36" foram adicionados. Por isso eles que têm que ser subtraídos e foi o que fizemos. Então vamos continuar. Repetindo o que deixamos aí em cima, temos:

(x-3)² - 9 + (y-6)² - 36 + 41 = 0 ----- ordenando, teremos:

(x-3)² + (y-6)² - 9 - 36 + 41 = 0 ----- como "-9-36+41 = -4", teremos:

(x-3)² + (y-6)² - 4 = 0 ------ passando "-4" para o 2º membro, temos:

(x-3)² + (y-6)² = 4 ----- note que "4" é a mesma coisa que 2². Assim:

(x-3)² + (y-6)² = 2² <--- Esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão.

Se você fizer a comparação da equação reduzida acima com a forma de  equações reduzidas de circunferências, conforme deixamos lá na expressão (I), em que lá temos isto: [(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²] , você vai notar que a circunferência da sua questão tem centro em C(3; 6) e tem raio = 2.

iv) Agora vamos saber qual é a posição relativa do ponto A(5; 6) em relação à circunferência da sua questão. Para isso, encontraremos a distância entre o centro C(3; 6) e o ponto A(5; 6) e observaremos o seguinte:

iv.1) Se a distância encontrada for igual ao raio, então o ponto A está sobre a circunferência;

iv.2) Se a distância encontrada for maior que o raio, então o ponto A está fora da circunferência;

iv.3) Se a distância encontrada for menor que o raio, então o ponto A está dentro da circunferência.

Calculando a distância "d" do ponto C(3; 6) ao ponto A(5; 6), teremos:

d² = (5-3)² + (6-6)² ------ desenvolvendo, temos:

d² = (2)² + (0)² ---- continuando o desenvolvimento, temos:

d² = 4 + 0 --- ou apenas:

d² = 4 ---- isolando "d", teremos:

d = ± √(4) ----- como √(4) = 2, teremos:

d = ± 2 ---- como uma distância não é negativa, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

d = 2 <--- Veja que a distância encontrada é exatamente igual ao raio da circunferência da sua questão, o que nos leva a concluir que o ponto A(5; 6) está:

sobre a circunferência <--- Esta é a resposta. Ou seja, o ponto A(5; 6) está exatamente no "traço circular" que forma a circunferência.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.