Question

11. Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que x^2=0

Answer 1

Seja a matriz 

......│a.....b│ 
x = │.........│ 
......│c.....d│ 


Então; 


│a.....b││a....b│...│0......0│ 
│.........││.......│= │.........│ 
│c.....d││c....d│...│0......0│ 


Fazendo a multiplicação, resulta; 

│a² + bc......ab + bd│...│0......0│ 
│...........................│ = │.........│ 
│ca + dc......cb + d²│...│0......0│ 


Daí; 

{ a² + bc = 0 ▬▬▬▬▬ ( I ) 
{ b.( a + d ) = 0 ▬▬▬▬▬ ( I I ) 
{ c.( a + d ) = 0 ▬▬▬▬▬ ( I I I ) 
{ bc + d² = 0 ▬▬▬▬▬ ( IV ) 


1ª Possibilidade: b = 0 

De ( I ), temos que: 

a² = 0 → a = 0 

De ( IV ): 

d² = 0 → d = 0 

Então; 

a + d = 0 → ( I I I ) é satisfeita ∀ c Є IR 



2ª Possibilidade: b ≠ 0. 

De ( I I ), temos que: 

a + d = 0 → d = - a 


De ( I ) e ( IV ) 

bc = - a² → c = - a²/b 

Portanto; 


......│0.....0│ 
x = │.........│ com c Є IR ◄▬▬▬▬ R 
......│c.....0│ 


Ou 


......│a.............b│ 
x = │.................│ com a , b , c Є IR ◄▬▬▬▬ R 
......│- a²/b.....- a│