Matemática, perguntado por anapaula1235, 1 ano atrás

105 termo da PA 45 52 59

Soluções para a tarefa

Respondido por Helvio

Encontrar a razão da PA

r = a2 - a1
r = 52 - 45
r = 7

====
Encontrar o valor do termo a105

an = a1 + ( n -1 ) . r
a105 = 45 + ( 105 -1 ) . 7
a105 = 45 + 104 . 7
a105 = 45 + 728
a105 = 773

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (45, 52, 59,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:45

c)centésimo quinto termo (a₁₀₅): ?

d)número de termos (n): 105 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 105ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do centésimo quinto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 52 - 45 ⇒

r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₅ = 45 + (105 - 1) . (7) ⇒

a₁₀₅ = 45 + (104) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₅ = 45 + 728 ⇒

a₁₀₅ = 773

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 105º termo da P.A.(45, 52, 59,...) é 773.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₅ = 773 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

773 = a₁ + (105 - 1) . (7) ⇒

773 = a₁ + (104) . (7) ⇒

773 = a₁ + 728 ⇒ (Passa-se 728 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

773 - 728 = a₁ ⇒

45 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 45 (Provado que a₁₀₅ = 773.)

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