Question

1°) Utilizando a definição de derivada, diferencie as seguintes funções:
a) f(x) = 3x2 - 5x + 3​

Answer 1

Resposta:

6x - 5

Explicação passo-a-passo:

Esta propriedade diz que para derivar uma soma, basta derivarmos as funções individualmente e somá-las. Isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas

a) f(x) = 3x2 - 5x + 3​

(3x2)'= 6x

(5x)'= 5

(3)'= 0 (derivada de uma constante é sempre 0)

f(x)'= 6x - 5

Derivada de um número elevado ao expoente, se faz assim: o valor do expoente desce e diminui um, se tiver um valor multiplicado ao x se multiplica ele também:

(3x2)'= (3*2)x^(2-1) = 6x

Answer 2

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = 3x {}^{2} - 5x + 3$

A questão nos pede para derivarmos essa função através da definição de derivada que diz:

$\sf \sf f'(x) =\lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x}$

Primeiro vamos calcular a f(∆x + x), ou seja, onde tiver "x", devemos substituir por (∆x + x).

$\sf f(\Delta x + x) = 3x {}^{2} - 5x + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f(\Delta x + x) = 3.(\Delta x + x) {}^{2} - 5.(\Delta x + x) + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \sf f(\Delta x + x) = 3.(\Delta {x}^{2} + 2x\Delta x + x {}^{2} ) - 5 \Delta x - 5 x + 3 \\ \sf \sf f(\Delta x + x) = 3\Delta x {}^{2} + 6x \Delta x +3 {x}^{2} - 5\Delta x - 5x + 3 \: \: \: \\ \sf \sf f(\Delta x + x) = 3 \Delta x {}^{2} + 6x\Delta x + 3x {}^{2} - 5 \Delta x - 5x + 3 \: \: \:$

Agora devemos substituir essa expressão que o obtemos e a própria função f(x):

$\sf f'(x ) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0} \frac{3\Delta x {}^{2} + 6 x\Delta x +3 {x}^{2} - 5\Delta x - 5x + 3 - (3x {}^{2} - 5x + 3)}{\Delta x } \\ \\ \sf f'(x) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0} \frac{3\Delta x {}^{2} + 6 x\Delta x +3 {x}^{2} - 5\Delta x - 5x + 3 - 3x {}^{2} + 5x - 3 }{\Delta x } \: \: \: \\ \\ \sf f'(x) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0} \frac{ 3\Delta x {}^{2} + 6 x \Delta x - 5 \Delta x + 3x {}^{2} - 3x {}^{2} - 5x + 5x + 3 - 3}{ \Delta x } \: \: \\ \\ \sf f'(x) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0} \frac{3 \Delta x {}^{2} + 6x\Delta x - 5 \Delta x }{ \Delta x } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf f'(x) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0} \frac{ \Delta x .(3 \Delta x + 6 x - 5) }{ \Delta x } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf f'(x) =\lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}( 3\Delta x + 6x - 5) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor a qual o ∆x tende, ou seja, "0", temos que:

$\sf f'(x) = 3.0 + 6x - 5 \\ \boxed{\sf f'(x) = 6x - 5 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado