Matemática, perguntado por AikiKm, 3 meses atrás

1°) Quantos termos tem a P.G (3√2, 3,... 3√2/16)?

2°) Considere as seguintes progressões aritméticas:

|. (-13, -8, -3, ... )
||. (1, 4, 7, ... )

Quantos termos de cada uma dessas sequências devem ser somadas a fim de que S| = S||?

Soluções para a tarefa

Respondido por saulowm

A solução para as questões de progressão geométrica e de progressão aritmética são:

a) A pg tem 9 termos.
b) São 15 termos cada pa.

Para entendermos o raciocínio utilizado, devemos primeiro saber quais são as diferenças entre progressão geométrica e progressão aritmética.

Diferenças entre a progressão aritmética e progressão geométrica

Ambas são progressões numéricas reais cujo fator de crescimento é constante e a principal diferente entre a progressão aritmética (pa) e a progressão geométrica (pg) é que a primeira tem um crescimento através de da soma de um número real dito razão, sendo que a segunda é obtida através a multiplicação de um número real também chamado de quociente.

Em termos matemáticos, o termo geral de construção de cada uma é:

$PA:a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\\\PG:a_{n}=a_{1}*q^{(n-1)}$

onde:

an: enésimo termo
n: número de termos
r: razão da pa, onde $r=a_{n}-a_{n-1}$
q: razão ou quociente da pg, onde $q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$

A fórmula para o somatório dos n primeiros termos é:

$PA:S_{n}=(a_{1}+a_{n})\frac{n}{2} \\\\PG:S_{n}=\frac{a_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}$

Agora vamos aos cálculos:

a) A pg tem 9 itens, sendo eles: $(3\sqrt{2} ;3;\frac{3\sqrt{2}}{2};\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{2}}{4};\frac{3}{4};\frac{3\sqrt{2}}{8};\frac{3}{8};\frac{3\sqrt{2}}{16})$ . O resultado é obtido montando a pg manualmente.

b) Para essa resolução, usaremos a fórmula da soma da progressão aritmética e a fórmula geral.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\\\\\a_{n}=-13+(n-1)5=5n-18\\\\a_{n}=1+(n-1)3=3n-2\\$

Fazendo a S1 = S2, temos:

$S_{n}=(a_{1}+a_{n})\frac{n}{2}\\\\(-13+a_{n})\frac{n}{2}=(1+a_{n})\frac{n}{2}\\\\(-13+5n-18)\frac{n}{2}=(1+3n-2)\frac{n}{2}\\\\(-13+5n-18)=(1+3n-2)\\\\5n-31=3n-1\\\\n=\frac{30}{2} =15$