Question

10 PONTOS!

Questão 1:
a) Seja f(x) = (3x^2 + 1) e^x . Calcule f ’(x)
b) Calcule f ‘(x) onde f(x) = 2x + 3/x^2 + 1

Questão 2: Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4 + 5 t^2/3 habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8 meses?

obs: resposta completa, passo a passo

Answer 1

Derivada do produto

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{(u.v)'=u'v+uv'}}}}}$

Isto é, a derivada do produto de funções é igual a derivada da 1ª função vezes a segunda função mais a 1ª função vezes a derivada da 2ª função.

Derivada da soma

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{(u+v)'=u'+v'}}}}}$

A derivada da soma é igual a soma das derivadas.

Derivada da potência

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{(u^n)'=nu^{n-1}}}}}}$

A derivada da potência é igual ao produto do expoente pela base elevado ao expoente diminuida uma unidade.

Derivada da exponencial de base e

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{(e^u)'=e^u.u'}}}}}$

A derivada da exponencial de base e é igual a própria exponencial vezes a derivada do expoente.

Derivada do quociente

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-u.v'}{v^2}}}}}}$

A derivada do quociente é igual

a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador dividido pelo quadrado do denominador.

1)

a)

$\mathsf{f(x)=(3x^2+1)e^x}\\\mathsf{f'(x)=6xe^x+(3x^2+1)e^x}\\\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{f'(x) =e^x(3x^3+6x+1)}}}}}$

b)

$\mathsf{f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+1}}\\\mathsf{f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-(2x+3).2x}{(x^2+1)^2}}\\\mathsf{f'(x)=\dfrac{2x^2+2-4x^2-6x}{(x^2+1)^2}}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{f'(x)=-\dfrac{2x^2+6x-2}{(x^2+1)^2}}}}}}$

2)

$\mathsf{p'(t)=4+5t^{\frac{2}{3}}}\\\displaystyle\mathsf{\int~p'(t)dt=\int~(4+5t^{\frac{2}{3}})dt}$

$\mathsf{p(t)=4t+5.\dfrac{3}{5}t^{\frac{5}{3}}}\\\mathsf{p(t)=4t+3t^{\frac{5}{3}} + k}$

$\mathsf{p(0)=10000}\\\mathsf{p(0)=4.0+3.0^{\frac{5}{3}}+k}\\\mathsf{k=10000}$

$\mathsf{p(t)=4t+3t^{\frac{5}{3}}+10000}$

Quando t=8 meses

$\mathsf{p(8)=4.8+3.8^{\frac{5}{3}}+10000}\\\mathsf{p(8)=32+3.(2^3)^{\frac{5}{3}}+10000}\\\mathsf{p(8)=32+3.2^{3.\frac{5}{3}}+10000}$

$\mathsf{p(8)=32+3.2^{5}+10000}\\\mathsf{p(8)=32+3.32+10000}\\\mathsf{p(8)=32+96+10000}$

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{p(8)=10128~habitantes}}}}}$