Question

10.No desenvolvimento de [x2 + (3/x)]^n , n ∈ N, os coeficientes binomiais do quarto e do decimo- ´terceiro termos são iguais. Então o termo independente de x é o: *
5 pontos
a) décimo
b) décimo-primeiro
c) nono
d) décimo-segundo​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Pelo enunciado:

Os coeficientes binomiais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais.

$\sf \dbinom{n}{3}=\dbinom{n}{12}$

Assim:

$\sf n=3+12$

$\sf n=15$

Temos então $\sf \left(x^2+\dfrac{3}{x}\right)^{15}$

O termo geral é:

$\sf T_{p+1}=\dbinom{15}{p}\cdot(x^2)^{15-p}\cdot\left(\dfrac{3}{x}\right)^{p}$

$\sf T_{p+1}=\dbinom{15}{p}\cdot x^{30-2p}\cdot\dfrac{3^p}{x^p}$

$\sf T_{p+1}=\dbinom{15}{p}\cdot\dfrac{x^{30-2p}}{x^p}\cdot3^p$

$\sf T_{p+1}=\dbinom{15}{p}\cdot x^{30-2p-p}\cdot3^p$

$\sf T_{p+1}=\dbinom{15}{p}\cdot x^{30-3p}\cdot3^p$

Temos que:

$\sf x^{30-3p}=x^0$

Igualando os expoentes:

$\sf 30-3p=0$

$\sf 3p=30$

$\sf p=\dfrac{30}{3}$

$\sf p=10$

O termo independente de x é $\sf T_{10+1}=T_{11}$, o décimo primeiro

Letra B