Question

10. (ITA) Quaisquer que sejam os números reais a.bec. o determinante da
matriz abaixo e
Mill
1 1 1 1
1 1+a 1 1
1 1 1+b 1
1 1 1 1+c
ile
ab + ao + bo
ca Dol
000
abc +​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{abc}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar o determinante da matriz de ordem 4 abaixo:

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1+a&1&1\\1&1&1+b&1\\1&1&1&1+c\\\end{vmatrix}$

Para isso, utilizaremos a Eliminação de Gauss, ou escalonamento.

Consiste em escolhermos um elemento pivô, neste caso, são elementos da diagonal principal para que ao multiplicarmos sua linha por uma constante e somarmos a outra, o elemento que pertence à linha desejada e à coluna deste elemento pivô se torna zero.

Este processo não altera o determinante, de acordo com o Teorema de Jacobi.

Multiplique a primeira linha por $(-1)$ e some à segunda linha:

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1+a&1&1\\1&1&1+b&1\\1&1&1&1+c\\\end{vmatrix}~~~L_1\cdot (-1)+L_2\\\\\\ \begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\1&1&1+b&1\\1&1&1&1+c\\\end{vmatrix}$

Multiplique a primeira linha por $(-1)$ e some à terceira linha:

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\1&1&1+b&1\\1&1&1&1+c\\\end{vmatrix}~~~L_1\cdot (-1)+L_3\\\\\\ \begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\0&0&b&0\\1&1&1&1+c\\\end{vmatrix}$

Multiplique a primeira linha por $(-1)$ e some à quarta linha:

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\0&0&b&0\\1&1&1&1+c\\\end{vmatrix}~~~L_1\cdot (-1)+L_4\\\\\\ \begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\0&0&b&0\\0&0&0&c\\\end{vmatrix}$

Veja que neste caso, a matriz está escalonada e é chamada de matriz triangular superior. Seu determinante é, basicamente, o produto dos elementos da diagonal principal, logo

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\0&0&b&0\\0&0&0&c\\\end{vmatrix}=1\cdot a\cdot b\cdot c$

Multiplique os valores

$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&a&0&0\\0&0&b&0\\0&0&0&c\\\end{vmatrix}=abc$

Esse era o resultado que buscávamos.