Question

10) (FIA) – Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 36 e a6 = 972. A soma dos seis primeiros termos é:

Answer 1

Resposta:

a soma é 1456

Explicação passo a passo:

O termo geral de uma progressão geométrica é dado por aₙ = a₁.qⁿ⁻¹.

Se o terceiro termo da progressão geométrica é igual a 36, então: 36 = a₁.q².

Se o sexto termo da progressão geométrica é igual a 972, então: 972 = a₁.q⁵.

Da equação a₁.q² = 36, podemos dizer que: a₁ = 36/q².

Substituindo o valor de a₁ na equação 972 = a₁.q⁵, obtemos:

972 = 36q⁵/q²

972 = 36q³

q³ = 972/36

q³ = 27

q = 3

Portanto, o primeiro termo da progressão geométrica é:

a₁ = 36/(3)²

a₁ = 36/9

a₁ = 4

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela fórmula: .

$Sn= \frac{a1 (q^{n} - 1)}{q -1}$

Logo, a soma dos seis termos da PG é igual a:

$\frac{4 (3^{6} - 1) }{3 - 1}$

S = 1456

Answer 2

Resposta:

1456

Explicação passo a passo:

Primeiro precisamos achar a razão da nossa PG. Para isso, utilizamos a fórmula do termo geral de uma PG:

$a_n = a_1 * q^{n-1}$

No nosso caso, substituiremos o n por 6 e o a1 pelo a3, já que não possuímos o valor de a1. Nossa fórmula ficará desse jeito:

$a_6 = a_3 * q^{6-3}$

onde:

a6 = sexto termo da PG

a3 = terceiro termo da PG

q = razão

Prosseguindo então:

Encontrando a razão, podemos encontrar também o primeiro termo da nossa PG, utilizando novamente a fórmula de termo geral:

$a_3 = a_1 * q^{n-1}$

$36 = a_1 * 3^2\\36 = a_1 * 9\\a_1 = 36/9\\a_1 = 4$

Com os dados obtidos acima, já podemos calcular a soma dos seis primeiros termos da PG, usando a fórmula abaixo:

$S_n = \frac {a_1*(q^n-1)}{q-1}$

Onde:

Sn = soma dos n primeiros termos

q = razão

a1 = primeiro termo da PG

Substituindo os valores na fórmula, teremos que:

$S_6 = \frac {4*(3^6-1)}{3-1}\\S_6 = \frac{4 * 728}2\\S_6 = 1456$