Question

10) Encontre os arcos simétricos ao arco nos 2º, 3º
e 4' quadrantes dos ângulos:
a) 15°
b) 22°
c) 45°
d) 60°​

Answer 1

a) Segundo quadrante: 180°-15°=165°

Terceiro: 180°+15°=195°

Quarto: 360°-15°=345°

b) Segundo: 180°-22°= 158°

Terceiro: 180°+22°=202°

Quarto: 360°-22°=338°

c) Segundo: 180°-45°= 135°

Terceiro= 180°+45°=225°

Quarto= 360°-45°=315°

d) Segundo: 180°-60°=120°

Terceiro: 180°+60°=240°

Quarto: 360°-60°=300°

Answer 2

Os arcos simétricos aos arcos de 15º, 22º, 45º e 60º nos 2º, 3º  e 4º quadrantes, respectivamente,  são:

a) 165º, 195º e 345º

b) 158º, 202º e 338º

c) 135º, 225º e 315º

d) 120º, 240º e 300º

$\dotfill$

Em trigonometria, arcos são ditos simétricos se possuem os mesmos valores de seno, cosseno e tangente em módulo. Desse modo, como o círculo trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, para qualquer ângulo na 1º volta, tem-se outros três que são simétricos a este.

A questão traz em cada item um ângulo do 1º quadrante. Devemos encontrar os arcos simétricos a estes arcos nos outros quadrantes. Para tal, para um ângulo qualquer $\theta$ no primeiro quadrante, observemos primeiramente que:

|sen $\theta$|=  |sen (0 ± $\theta$ )| = |sen (180 ± $\theta$ )|

|cos $\theta$| = |cos (0 ± $\theta$ )| = |cos (180 ± $\theta$ )|

|tan $\theta$| = |tan (0 ± $\theta$ )| = |tan (180 ± $\theta$ )|

Dessa forma:

a) 15º

|sen 15º|=  |sen (0 ± 15º )| = |sen (180 ± 15º)|

0 + 15º = 15º

0 - 15º = -15º = 345º

180 + 15º = 195º

180 - 15º = 165º

Logo, são arcos simétricos ao arco de 15º,

• 165º no segundo quadrante
• 195º no terceiro quadrante
• 345º no quarto quadrante

$\dotfill$

b) 22º

|sen 22º|=  |sen (0 ± 22º )| = |sen (180 ± 22º)|

0 + 22º = 22º

0 - 22º = -22º = 338º

180 + 22º = 202º

180 - 22º = 158º

Logo, são arcos simétricos ao arco de 22º,

• 158º no segundo quadrante
• 202º no terceiro quadrante
• 338º no quarto quadrante

$\dotfill$

c) 45º

|sen 45º|=  |sen (0 ± 45º )| = |sen (180 ± 45º)|

0 + 45º = 45º

0 - 45º = -45º = 315º

180 + 45º = 225º

180 - 45º = 135º

Logo, são arcos simétricos ao arco de 45º,

• 135º no segundo quadrante
• 225º no terceiro quadrante
• 315º no quarto quadrante

$\dotfill$

d) 60º

|sen 60º|=  |sen (0 ± 60º )| = |sen (180 ± 60º)|

0 + 60º = 60º

0 - 60º = -60º = 300º

180 + 60º = 240º

180 - 60º = 120º

Logo, são arcos simétricos ao arco de 15º,

• 120º no segundo quadrante
• 240º no terceiro quadrante
• 300º no quarto quadrante

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