10) Determine a lei de formação das funções representadas a seguir.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Através dos gráficos, podemos observar que as funções se tratam de retas, ou seja, funções de primeiro grau. Utilizando 2 pontos de cada reta e a equação geral de uma função de 1° grau, chegaremos as respostas:
a) f(x) = 2x + 3
b) f(x) = -3x + 5
c) f(x) = 6x - 6
Explicação passo a passo:
A equação geral de uma função de primeiro grau, ou de uma reta, é definida como f(x) = ax + b (também pode ser escrita como y = ax + b). Basta portanto, determinarmos as constantes a e b para acharmos a lei de formação das funções. Para isso, precisamos de no mínimo dois pontos de cada reta, os quais podemos determinar através dos gráficos fornecidos.
Solução a)
Pelo gráfico, observamos que faz parte da reta o ponto x = 0, y = 3. Podemos escrever este ponto ou coordenada (x, y) como (0, 3). Igualmente pelo gráfico, observamos que ponto x = 1, y = 5 ou seja (1, 5) também faz parte da reta. Agora vamos substituir cada coordenada na equação geral da reta, para isso basta substituir o valor de x e y na equação y = ax + b:
O ponto (x, y) = (0, 3), ou seja x = 0 e y = 3, na equação y = ax + b fica:
3 = 0.x + b
b = 3
Substituindo a outra coordenada na equação geral:
(x, y) = ( 1, 5) na equação y = ax + b fica:
5 = a.1 + b, como já encontramos o valor de b podemos substituí-lo:
5 = a + 3
a = 2
Agora basta substituir os valores de a e b na equação da reta:
y = 2x + 3
Solução b)
Seguindo o mesmo procedimento, observamos que os pontos (x, y) = ( 1, 2) e (x, y) = (2, -1) fazem parte da reta no gráfico b.
Utilizando a coordenada (1, 2) na equação geral y = ax + b ficamos com:
2 = a + b, isolando b, ficamos com
b = a - 2
O ponto (2, -1) na equação geral nos dá:
-1 = 2a + b, substituindo o valor de b encontrado acima (b = a - 2), ficamos com
-1 = 2a + 2 - a
a + 2 = -1
a = -3
Agora podemos substituir o valor de a = -3 em b = a - 2 e ficamos com b = 5.
Substituindo a e b na equação geral ficamos com
y = -3x + 5
Solução c)
Igualmente, podemos determinar que os pontos (1, 0) e (0, -6) fazem parte da reta apresentada no gráfico c.
O ponto (1, 0) na equação da reta y = ax + b nos dá:
0 = a + b
a = -b
O ponto (0, -6) na equação da reta nos dá:
-6 = 0 + b
b = -6
Como determinado acima, a = -b, então a = 6. Substituindo os valores na equação geral y = ax + b temos:
y = 6x - 6
Dicas:
A constante b da equação geral também pode ser encontrada observando-se onde a reta cruza o eixo y, pois neste ponto, x = 0 e torna a equação y = ax + b como y = b. Por exemplo, no gráfico a) observamos que a reta cruza o eixo y em (0, 3) e b = 3. Igualmente em c) a reta cruza o eixo y em (0, -6) e b = -6.
A constante a da reta pode ser chamada de taxa de variação e também pode ser calculada como a = (y1 - y2) / (x1 - x2) onde os pontos (x1, y1) e (x2, y2) pertencem a reta. Por exemplo, em a) podemos utilizar os pontos (0, 3) e (1, 5) para calcular:
a = (3 - 5) / (0 - 1) = 2
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