Question

10 Dada a matriz B =' 3 ' -4e sabendo que a matriz A-1 =2 -1 53e amatriz inversa da matriz A, podemos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX = B, tem como soma de seus elementos o númeroA 14 B 13 C 15 D 12 E 16

Answer 1

Para facilitar o entendimento, vamos lembrar como são resolvidas as equações Reais de 1° grau e, posteriormente, podemos traçar os paralelos com as equações matriciais.

Considere a equação Real   $\boxed{\sf a\cdot x~=~b}$  com "a" e "b" pertencentes ao conjunto dos números Reais e "a" diferente de 0. Para resolvermos esta equação, devemos multiplicar os dois membros da equação pelo inverso do coeficiente "a", veja:

$\sf a^{-1}\cdot a\cdot x~=~a^{-1}\cdot b\\\\\\\dfrac{1}{a}\cdot a\cdot x~=~\dfrac{1}{a}\cdot b\\\\\\1\cdot x~=~\dfrac{b}{a}\\\\\\\boxed{\sf x~=~\dfrac{b}{a}}$

Este resultado, naturalmente, nos levaria a pensar que, então, de forma similar, teríamos como solução da equação matricial X=B/A, mas isso não é verdade, não há divisão de matrizes.

Embora não possamos dividir, a multiplicação de matrizes é uma operação válida, basta que os requisitos desta operação sejam atendidos.

Sendo assim, seguindo o que foi feito para a equação Real acima, vamos multiplicar os dois membros da equação matricial pela inversa da matriz A.

$\sf A^{-1}\cdot A\cdot X~=~A^{-1}\cdot B$

Aqui cabe algumas observações. Lembre que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, há diferença entre multiplicar A.B e B.A, logo se posicionarmos A⁻¹ à esquerda em um dos membros, no outro também deverá estar à esquerda.

Semelhante ao que acontecia na equação Real, o produto de de uma matriz com sua inversa resulta no elemento neutro da multiplicação que, em matrizes, trata-se da matriz identidade (I).

$\sf I\cdot X~=~A^{-1}\cdot B\\\\\\Como~a~identidade~\acute{e}~um~elemento~neutro,~podemos~omiti-la:\\\\\\\boxed{\sf X~=~A^{-1}\cdot B}$

Então, desde que os requisitos para multiplicação A⁻¹.B sejam respeitados, X é a matriz resultante do desse produto.

Certo, até agora tratamos do caso geral, vamos agora envolver as matrizes colocadas pelo exercício.

$\sf X~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 5&\sf 3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf 3\\\sf -4\end{array}\right]$

Perceba que o número de colunas na matriz A⁻¹, 2, é igual ao número de linhas da matriz B, portanto a multiplicação das duas matrizes é possível e resultará na em uma matriz com mesmo número de linhas da matriz A⁻¹, 2, e mesmo número de linhas da matriz B, 1.

Cada elemento Xij é dado pelo produto escalar entre a linha "i" da primeira matriz (A⁻¹) e a coluna "j" da segunda matriz (B).

Vamos calcular estes elementos:

$\sf X_{11}~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf 3\\\sf -4\end{array}\right] \\\\X_{11}~=~2\cdot 3~+~(-1)\cdot (-4)\\\\X_{11}~=~6~+~4\\\\\boxed{\sf X_{11}~=~10}\\\\\\\sf X_{21}~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 5&\sf 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf 3\\\sf -4\end{array}\right] \\\\X_{21}~=~5\cdot 3~+~3\cdot (-4)\\\\X_{21}~=~15~-~12\\\\\boxed{\sf X_{21}~=~3}$

Desse modo, X é matriz:  $\left[\begin{array}{ccc}\sf 10\\\sf 3\end{array}\right]$

Finalizando, o exercício nos pede para somarmos os elementos de X:

$\sf Soma~de~elementos~=~10+3\\\\\boxed{\sf Soma~de~elementos~=~13}~~\Rightarrow~Letra~B$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$