10. Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x2 + y2 — 8x + 10y + 21 = 0. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B?
a) (x + 1)2 + (y — 2)2 = 15.
► b) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 5.
c) (x — 3)2 + (y — 1)2 = 3
d) (x — 7)2 + (y — 2)2 = 10.
e) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 9.
Alguém consegue me explicar de forma detalha e mostrar as fórmulas utilizadas
Soluções para a tarefa
Resposta:
completando os quadrados
x² + y² - 8x + 10y + 21 = 0
x²-8x+4²-4²+y²+10y+5²-5²+21=0
(x-4)²+(y+5)² =-21+16+25
(x-4)²+(y+5)² =20
centro é (4,-5) e raio = √20=2√5
Vamos ver se é realmente a letra B
(x+2)²+(y+2)²=5
centro é (-2,-2) e raio = √5
soma dos raios = 2√5+√5 =3√5
Se a distância entre os centro for igual a soma dos raios , elas são tangentes
d²=(-2-4)²+(-5+2)²
d²=36+9=45
d= √45 =3√5
São iguais , as circunferências são tangentes...Letra B
A circunferência que tangencia B está na alternativa B.
Esta questão se trata de posição relativa entre circunferências.
Existem dois tipos de tangência:
- Tangentes externas: quando a distância entre os centros é igual a soma dos raios;
- Tangentes internas: quando a distância entre os centros é igual a diferença entre os raios;
Colocando a circunferência B na forma reduzida, temos:
x² + y² - 8x + 10y + 21 = 0
Completando quadrados, temos:
(x - 4)² + (y + 5)² = 0
x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = 0
Como acrescentamos 41, devemos subtrair 41 da equação original:
(x - 4)² + (y + 5)² + 21 - 41 = 0
(x - 4)² + (y + 5)² - 20 = 0
(x - 4)² + (y + 5)² = 20
Logo, a circunferência B tem centro (4, -5) e raio √20.
A circunferência da letra B tem centro (-2, -2) e raio √5. A distância entre os centros é:
d² = (4 - (-2))² + (-5 - (-2))²
d² = 36 + 9
d² = 45
d = √45 ≈ 6,71
A soma dos raios é:
r1 + r2 = √20 + √5 ≈ 6,71
As circunferências são tangentes externas.
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