Question

10) Calcule a soma dos 70 primeiros termos da PG (12, 48, 192, ...).​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que a soma dos 70 primeiros termos da P.G (12, 48, 192, ...) é  $\textstyle \sf \sf S_{70} = 4 \cdot (4^{70} -1 )$.

Progressão geométrica é toda sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante, diferente de zero, chamada razão da P.G., e indicada por q.

Exemplos:

(2, 4, 8, 16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente.

(-2, -6, -18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente.

(-72, 24, -8,...) temos q =  -1/3 e a P.G é alternante.

(4, 4, 4, 4,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.

Se $\textstyle \sf \sf (\: a_1, a_2, a_3, \dotsi, \:)$ é uma P.G. de razão q, então:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{a_4}{a_3} = \dotsi = \dfrac{a_n}{a_{n-1}} } } }$

Termo geral:

Uma expressão que nos permite obter um termo qualquer da P.G.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ l }\sf a_2 = a_1 \cdot q\\\sf a_3 = a_2\cdot q = q_1 \cdot q^2\\ \sf a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3\\ \sf \quad \quad \quad \quad \vdots\end{array} } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ a_n = a_{n-1} \cdot q = a_1 \cdot q^{n-1} } } }$

Soma dos termos de uma P.G.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \boxed{\mathsf{ S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^n - 1)}{q -1} } } \quad com ~ q \neq 1 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf n = 70 \\ \sf s_{70} = \:? \\ \sf P.G( 12, 48,192, \dotsi \\ \sf a_1 = 12\\\sf a_2= 48 \end{cases} } }$

Solução:

Primeiramente, temos que determinar o valor da razão q:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{48}{12} = 4 } }$

Com o valor da razão q, e utilizando a fórmula da soma de uma P.G., podemos escrever:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^n - 1)}{q -1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{70} = \dfrac{12 \cdot ( 4^{70} - 1)}{4 -1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{70} = \dfrac{12 \cdot ( 4^{70} - 1)}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_{70} = 4 \cdot (4^{70} -1 ) }$

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