Question

1. Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
a) y^'- 2 x y = x

b) y^'+y^² sen⁡x = 0

Answer 1

Pelo Metodo das separações de variaveis temos que:

a) $y=K.e^{x^2}-\frac{1}{2}$

b) $y=\frac{1}{cos(x)+C}$

Explicação passo-a-passo:

O metodo de separação de variaveis, consiste em tentar o maximo possível isolar, de um lado x e do outro y.

Vamos uma por uma:

a)y' - 2xy = x

y' - 2xy = x

y' = x + 2xy

y' = x(1+2y)

y'/(1+2y) = x

Agora que está isolado, podemos integrar o primeiro lado em y e o segundo em x:

y'/(1+2y) = x

(dy/dx)/(1+2y) = x

dy/(1+2y) = xdx

∫dy/(1+2y) = ∫xdx

ln(1+2y)/2 = x²/2 + C

Onde C é uma constante de integração.

ln(1+2y)/2 = x²/2 + C

ln(1+2y) = x² + 2C

$1+2y=e^{x^2+2C}$

$1+2y=e^{x^2}.e^{2C}$

Como exponencial de uma constante é outra constante:

$1+2y=K.e^{x^2}$

$2y=K.e^{x^2}-1$

$y=K.e^{x^2}-\frac{1}{2}$

Assim ficamos com o resultado:

$y=K.e^{x^2}-\frac{1}{2}$

b) y' + y²sen(x)=0

$y'+y^2sen(x)=0$

$\frac{dy}{dx}+y^2sen(x)=0$

$\frac{dy}{dx}=-y^2sen(x)$

$\frac{dy}{y^2}=sen(x)dx$

Integrando dos dois lados:

$\int \frac{dy}{y^2}=\int sen(x)dx$

$-\frac{1}{y}=-cos(x)-C$

$\frac{1}{y}=cos(x)+C$

$y=\frac{1}{cos(x)+C}$

Então temos este resultado, onde C é uma constante de integração:

$y=\frac{1}{cos(x)+C}$