1), Uma pirâmide tem 7,5cm de altura e 225cm² de área da base. A que distância do vértice
uma secção transversal dessa pirâmide deve ser desenhada para que a sua área seja
36cm??
Soluções para a tarefa
Resposta:
A distância do vértice é de 3 cm.
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Uma pirâmide tem 7,5 cm de altura e 225 cm² de área da base. A que distância do vértice uma secção transversal dessa pirâmide deve ser desenhada para que a sua área seja 36 cm²?
Resolução:
Introdução
Para perceber o porquê do raciocínio na resolução desta tarefa, veja com atenção o seguinte exemplo, onde vou comparar razões de semelhança entre lados, entre perímetros, entre áreas e entre volumes.
“ Sejam os quadrados
Qa - quadrado com lado = 2 m
Qb - quadrado com lado = 6 m
Analisando a razão de semelhança entre os lados dos dois quadrados, partindo do Qb para Qa :
lado Qb / lado Qa = 6 m / 2 m = 3
Analisando pela mesma ordem de relação entre Perímetros ( P ) PQa = 2 + 2 + 2 +2 = 8 m
PQb = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 m
perímetro Qb / perímetro Qa = 24 m / 8 m = 3
Parece tudo igual...
Vamos ver agora quando relacionamos as áreas.
Área Qa = 2 * 2 = 4 m²
Área Qb = 6 * 6 = 36 m²
área de Qb / área de Qa = 36 m² / 4 m² = 9 → repare que 9 = 3 ²
Já vemos aqui a primeira grande diferença. As razões de semelhanças não são iguais.
Espere um pouco pois vou fazer uma terceira e última relação.
Imagine dois cubos. Um será cubo_a ( Ca ) e outro o cubo_b
( Cb. )
O cubo Ca tem como face o quadrado Qa
O cubo Cb tem como face o quadrado Qb
Calculando os volumes:
volume Ca = 2 * 2 * 2 = 8 m³
volume Cb = = 6 * 6 * 6 = 216 m³
Relacionando os volumes partindo de Cb para Ca
volume de Cb / volume de Ca = 216 m³ / 8 m³ = 27 → repare que é = 3 ³
Conclusão :
Quando relaciona relações entre lados de figuras ou perímetros ou até alturas de sólidos semelhantes ,a razão de semelhança entre lados ou entre perímetros ou alturas mantém-se.
Quando passa para relações de semelhança entre áreas, das mesmas figuras ( ou secções de polígonos ) a razão entre áreas é a relação entre lados ( ou alturas) mas elevada ao quadrado.
Quando chegamos a comparar volumes de sólidos que têm faces das quais já se sabe a relação entre lados ( alturas ) delas, o volume vem com a relação de semelhança entre lados
( alturas ) elevada ao cubo.
Resolução propriamente dita
Neste exercício vou relacionar razões entre alturas de pirâmides ( portanto uma só dimensão ) com razões entre áreas de bases ( duas dimensões) das pirâmides.
Sendo “ x “ a altura da pirâmide de base 36 cm² .
( x / 7,5 ) ² = 36 / 225
Tive que elevar ao quadrado a razão entre alturas ( uma só dimensão) porque ia comparar com razões de áreas ( duas dimensões)
x² / 56,25 = 36 /225
produto cruzado
225 x² = 56,25 * 36
x² = 2025 / 225
x² = 9
x = 3 V x = - 3
descartar a solução negativa ; não há comprimentos negativos de segmentos de reta
A distância do vértice até à base da secção transversal ,dessa pirâmide, com área da base de 36 cm² , é de 3 cm.
Nota final : quando temos os valores " 3 " ; " 9 " por exemplo, para razões de semelhança, esses valores não tem associada nenhuma unidade dimensional.
São valores adimensionais.
3 é 3 ponto final.
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( V ) ou
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.