Question

1. Uma organização militar fará uma atividade de reconhecimento territorial. Para tanto, precisará organizar e escalar uma comitiva formada por um capitão, dois tenentes e dois sargentos. Estão aptos para serem convocados dois capitães, quatro tenentes e seis sargentos. Qual número de comitivas distintas que se podem ser formadas com esses militares?

2. Sete pessoas conhecidas foram receber um auxílio na Caixa e ficaram em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. Qual o número de posições distintas para que essas sete pessoas possam ser fotografadas juntas?

3. Em uma gincana da escola há um grupo com 9 alunos, dos quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos desse grupo poderão formar 3 comissões com 3 integrantes em cada grupo, de modo que em cada um dos grupos haja um menino. Qual será o número de maneiras que esses alunos poderão se organizar para compor essas comissões?

Answer 1

Resposta:

1.  Poderão ser formadas 180 comitivas distintas.

Explicação passo-a-passo:

Há duas maneiras para solucionar esta questão:

Usando o raciocínio lógico:

Capitães: existem 2 possibilidades:

C1 e C2.

Tenentes existem 6 possibilidades conforme :  

T1 - T2         T2 - T3        T3 - T4

T1  - T3        T2 - T4

T1 - T4

Sargentos: existem 15 possibilidades conforme :

S1 - S2      S2 - S3      S3 - S4    S4 - S5     S5  - S6

S1 - S3      S3 - S4      S3 - S5     S4 -S6

S1 - S4      S4 - S5      S3 - S6

S1 - S5      S5 - S6

S1 - S6

Logo a combinação será o produto das possibilidades:

2 x 6 x 15 = 180  

ou pela fórmula da combinação:(

Cn,p = (n)! / P!(n-p)!  onde n é o número de elementos e p é o número de arranjos ou seja:

Combinação dos capitães: 2 capitães 1 a 1 ( o n=2 e o P=1)

Cn,p = (n)! / P!(n-p)! = (2!) / {1! (2-1)!} = 2! / 1! = 2

Combinação dos tenentes:  4 tenentes 2 a 2( o n=4 e o P=2)

Cn,p = (n)! / P!(n-p)! = (4!) / {2!(4-2)!} = 4! / 2! x 2! =  (4 x 3 x 2! )/ (2! x 2!) = 6

Combinação dos sargentos:  6 sargentos 2 a 2( o n=6 e o P=2)

Cn,p = (n)! / P!(n-p)! = (6!) /{2!(6-2)!} = 6! / 4! = (6 x 5 x 4!) / (2! 4!) = 15

logo a combinação seria 2 x 6 x 15 = 180 comitivas

Cálculos dos fatoriais:

Fatorial de 6 é  6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Fatorial de 4 é 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Fatorial de  2 é 2! = 2 x 1 = 2

Para dividir fatoriais basta reduzir até o fatorial de menor valor e simplificar:

6! / 4! = (6 x 5 x 4!) / (4!) = 6 x 5 = 30 se fosse desenvolver:

(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ) / ( 4 x 3 x 2 x 1) basta simplificar os números