Question

1. Um fóton na frequência do ultravioleta com um comprimento de onda igual a 2x10^-7m
a) Determine o valor da frequência do fóton
b) Qual é a energia que este fóton propaga?

2. O Acelerador de partícula de um certo laboratório opera com uma energia da ordem de 1 Mev. Calcule a velocidade de um elétron acelerado no dispositivo citado, sabendo que a massa de repouso do elétron é da ordem de 10^-30 Kg.

Answer 1

1.
a) $\mathsf{f=1,5\cdot10^{15}Hz}$

Sabendo que $\mathsf{c=3\cdot10^8}$ m/s, a partir da equação para ondas, calculamos a frequência desse fóton.

$v=\lambda\cdot f\\\\3\cdot10^8=2\cdot10^{-7}\cdot f\\\\f=\dfrac{3\cdot10^8}{2\cdot10^{-7}}\\\\\boxed{f=1,5\cdot10^{15}Hz}$

b) $9,9\cdot10^{-19}$

Para sabermos a energia de um fóton, utilizamos a seguinte equação:

$\mathsf{E=h\cdot f}$

Sendo que h é a constante de Planck. Seu valor é $h=6,6\cdot10^{-34}$

$E=hf\\\\E=6,6\cdot10^{-34}\cdot1,5\cdot10^{15}\\\\\boxed{E=9,9\cdot10^{-19}J}$

2.

Já que a questão deu a massa de repouso do elétron, vamos calcular sua energia de repouso.

Lembre que:

$\boxed{E=\gamma mc^2}\to$ energia total.
$\boxed{E_o=mc^2}\to$ energia de repouso.
$\boxed{E_c=(\gamma-1)mc^2}\to$ energia cinética.

$E_o=mc^2\\\\E_o=10^{-30}\cdot(3\cdot10^8)^2\\\\E_o=9\cdot10 {-14}$

Achamos a energia de repouso do elétron. Se o acelerador opera em 1MeV, temos de passar essa unidade para Joules.

$1\cdot10^6eV\overset{1,6\cdot10^{-19}}{\longrightarrow}1,6\cdot10^{13}J$

Sendo que dessa energia do acelerador, uma parte é energia de repouso do elétron e a outra é a cinética, então:

$16\cdot10^{-14}-9\cdot10^{-14}=7\cdot10^{-14}J$

Agora que achamos a energia cinética do elétron, vamos calcular o valor do fator de contração de Lorentz e então calcular a velocidade aproximada do elétron.

$E_c=(\gamma-1)mc^2\\\\7\cdot10^{-14}=(\gamma-1)10^{-30}\cdot9^{16}\\\\\gamma-1=\dfrac{7\cdot10^{-14}}{10^{-30}\cdot9\cdot10^{16}}\\\\\gamma-1=\dfrac{7}{9}\\\\\boxed{\gamma=\dfrac{16}{9}}$

Agora, calculando β:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

$\dfrac{16}{9}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

$\sqrt{1-\beta^2}=\dfrac{1}{\dfrac{16}{9}}$

$\sqrt{1-\beta^2}=\dfrac{9}{16}$

$1-\beta^2=\dfrac{81}{216}$

$\beta^2=1-\dfrac{81}{216}$

$\beta^2=\dfrac{135}{216}$

$\boxed{\beta=\dfrac{3\sqrt{15}}{16}}$

Agora que achamos β, vamos calcular a velocidade do elétron:

$\beta=\dfrac{v}{c}$

$\dfrac{3\sqrt{15}}{16}=\dfrac{v}{3\cdot10^8}$

$v=\dfrac{3\sqrt{15}}{16}\cdot3\cdot10^8$

$v=\dfrac{9\sqrt{15}}{16}\cdot10^8$

$\boxed{v\simeq2,18\cdot10^8\mbox{m/s}}$

Aí está a velocidade do elétron.