Question

1) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t)= -4t² + 48t, em que a altura h é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Faça um esboço do gráfico dessa função e em seguida calcule:

a) Os instantes em que o corpo está a uma altura de 128 m do solo.

b) A altura máxima atingida pelo corpo.

c) Quantos segundos após o lançamento o corpo atinge a altura máxima.

d) Quantos segundos após o lançamento o corpo retorna ao solo.

Answer 1

O corpo está a uma altura de 128 m do solo quando t = 4 e t = 8; A altura máxima atingida é de 144 metros; O corpo atinge a altura máxima em 6 segundos; O corpo retorna ao solo após 12 segundos.

a) Igualando a função a 128, obtemos uma equação do segundo grau -4t² + 48 t - 128 = 0.

Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 48² - 4.(-4).(-128)

Δ = 2304 - 2048

Δ = 256

$t=\frac{-48+-\sqrt{256}}{2.(-4)}$

$t=\frac{-48+-16}{-8}$

$t'=\frac{-48+16}{-8}=4$

$t''=\frac{-48-16}{-4}=8$.

b) A altura máxima será dada pelo y do vértice, que é igual a:

yv = -Δ/4a

Como Δ = 48² = 2304, então:

yv = -2304/-16

yv = 144.

c) Para isso, utilizaremos o x do vértice, que é calculado por xv = -b/2a:

xv = -48/-8

xv = 6.

d) Igualando a função h a 0, obtemos:

-4t² + 48t = 0

Colocando 4t em evidência:

4t(-t - 12) = 0

t = 0 ou t = 12.

O corpo retorna após 12 segundos.