1) (Uece 2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é: *
1/1
a) 90.
b) 72.
c) 60.
d) 56.
2 D) 6
Soluções para a tarefa
Letra C
O número de vértices deste polígono é 60.
De acordo com os dados informados a questão,
número de faces = 32
20 hexagonais
12 pentagonais
Para desenvolver o cálculo do total de arestas, faremos que:
2A = 20(6) + 12(5)
2A= 120+60
A= 180/2
A = 90
De acordo com o Teorema de Euler
V+F=A+2
V+32=90+2
V=60
Sabe-se que de acordo com o Teorema de Euler podemos fazer a relação entre o número de faces, arestas e vértices dos poliedros convexos, sendo expressa pela seguinte fórmula:
V – A + F = 2
Onde:
V: número de vértices,
A: número de arestas
F: número de faces do poliedro.
O polígono possui 60 vértices, conforme a alternativa C.
A questão pode ser respondida com conhecimentos sobre relação de Euler, vamos entender!
A relação de Euler, ou fórmula de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de faces, arestas e vértices de um poliedro convexo.
A relação é dada pela seguinte expressão:
V – A + F = 2
Na qual V é o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces.
Logo, aplicando na questão apresentada, o poligono vai ter 32 faces.
Para descobrir o número de arestas precisamos multiplicar o número de arestas do formato da face pelo número de faces existentes e dividir por 2, visto que cada aresta pertence a duas faces ao mesmo tempo.
2A = 20(6) + 12(5)
2A= 120+60
A= 180/2
A = 90
Logo, aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
V - 90 + 32 = 2
V = 90 - 32 + 2
V = 60
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