Question

1. Transforme em um só radical a expressão: ,
$\sqrt[5]{x}$
$\sqrt[3]{x}$
sendo
$x\geqslant 0$
2. Simplifique os radicais a um mesmo índice:
$\sqrt[2]{3}$
e
$\sqrt[3]{2}$
3. Observe qual o caso adequado de simplificação de radicais e simplifique-os.
a)
$\sqrt{ 27}$

c)
$\sqrt{40}$
​

Answer 1

Resposta:

1) $\sqrt[15]{x^{8} }$

2) $\sqrt[6]{3^{3} }$   e  $\sqrt[6]{2^{2} }$

3) a ) $\sqrt{27} =3\sqrt{3}$

3 c) $\sqrt{40} =2\sqrt{10}$  

Explicação passo-a-passo:

Enunciado e resolução:

1. Transforme em um só radical a expressão:

$\sqrt[5]{x}$      

$\sqrt[3]{x}$         sendo x ≥ 0

Aqui mostra dois radicais não ligados por sinal operatório nenhum.

Vou então raciocinar com base na informação dada e de acordo com regras sobre radicais.

Se estivessem a adicionar ou a subtrair nada se podia fazer pois os radicais são distintos.

Exemplo : pode-se somar 7√5 + 12√5  = 12 √5, porque têm o mesmo radical

Se estivéssemos  a dividir   $\frac{\sqrt[5]{x} }{\sqrt[3]{x} }$  , esta operação é tornada inviável pois o enunciado diz que x≥ 0.

Sendo x =  0 a divisão ficaria em  $\frac{0}{0}$  , que é uma indeterminação, logo não calculável.

Resta-nos a multiplicação :

$\sqrt[5]{x} *\sqrt[3]{x}$

Numa multiplicação de radicais, só a podemos efetuar se os índices das raízes forem iguais.

Para já temos os índices 5 e 3.

O que se faz é encontrar um valor, o menor múltiplo comum entre 5 e e3.

Vejamos:

Múltiplos de 5 = { 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ;  etc }

Múltiplos de 3 = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; etc }

15 é então o Menor Múltiplo Comum entre 5 e  3.

Para ir de 5 para 15 tenho que multiplicar por 3

Para ir de 3  para 15 tenho que multiplicar por 5

( realmente nestes casos só devemos fazer multiplicações)

Assim ficaria $\sqrt[5 * 3]{x} = \sqrt[15]{x}$              e     $\sqrt[3*5]{x} = \sqrt[15]{x}$  

Mas

a "coisa" não funciona só assim

Num radical podemos multiplicar o índice por um valor diferente de zero,

desde que multipliquemos o expoente do radicando pelo mesmo valor

Assim será correto ficar:

$\sqrt[5*3]{x^{1*3} } =\sqrt[15]{x^{3} }$

e

$\sqrt[3*5]{x^{1*5} } =\sqrt[15]{x^{5} }$

Agora se temos dois radicais com índices iguais, podemos os multiplicar

$\sqrt[15]{x^{3} } *\sqrt[15]{x^{5} } =\sqrt[15]{x^{3} *x^{5} } =\sqrt[15]{x^{3+5} } =\sqrt[15]{x^{8} }$

2. Simplifique os radicais a um mesmo índice:

$\sqrt[2]{3}$    e    $\sqrt[3]{2}$}

Aqui aplica-se o que expliquei mesmo agora.

Múltiplos de 2 = {  2 ; 4 ; 6 ; 8; 10 ; etc }

Múltiplos de 3 = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; etc

Para passar de 2 para 6 multiplico por 3

Para passar de 3 para 6 multiplico por 2

( estou a falar de índices apenas, até agora )

$\sqrt[2]{3} =\sqrt[2*3]{3^{1*3} } =\sqrt[6]{3^{3} }$

e

$\sqrt[3]{2} =\sqrt[3*2]{2^{1*2} } =\sqrt[6]{2^{2} }$

 3. Observe qual o caso adequado de simplificação de radicais e simplifique-os.

a) $\sqrt{27}$

decompor 27 em fatores primos

27/3

9 / 3

3/3

1              logo 27 = 3³

assim $\sqrt{27} =\sqrt{3^{3} }$  para já não parece que se possa simplificar.

Repare que 3³ = 3² * 3

$\sqrt{27} =\sqrt{3^{3} } =\sqrt{3^{2} *3} =\sqrt{3^{2} } *\sqrt{3} =3\sqrt{3}$

c) $\sqrt{40}$

O mesmo para radicando 40

40 / 2

20 /2

10 /2

5 /5

1          40 = 2³ * 5

$\sqrt{40} =\sqrt{2^{3} *5} =\sqrt{2^{2} *2*5} =\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2*5} =2\sqrt{10}$

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação    ( / ) divisão