Question

1. Sendo um triângulo equilátero ABC de lado $64 \sqrt[4]{3}$
cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de ABC
obtém-se um novo triângulo DEF. Unindo-se os pontos médios de DEF obtém-se um novo triângulo GHI.
Repetindo-se este procedimento mais duas vezes, constrói-se um triângulo MNO. Qual o inteiro mais
próximo da área deste triângulo, em cm2?

Answer 1

segue a figura, bom não é dificil perceber que todos os triangulos feitos a partir dessa construção serão equilateros pois todos os seus lados sao formados pelos pontos médios e como consequencia serão base média onde cada um desses triangulos equiláteros terão lado valendo a metade do lado do triangulo anterior, logo o lado de DEF vale $\dfrac{64\sqrt[4]{3}}{2}=32\sqrt[4]{3}$, o lado de GHI vale $\dfrac{32\sqrt[4]{3}}{2}=16\sqrt[4]{3}$, o lado de LJK vale $\dfrac{16\sqrt[4]{3}}{2}=8\sqrt[4]{3}$ e por fim o lado de MNO vale $\dfrac{8\sqrt[4]{3}}{2}=4\sqrt[4]{3}$ e sua área é dada por

$A=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$ onde l é seu lado, então

$A=\dfrac{(4\sqrt[4]{3})^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4^2\sqrt[4]{3^2}}{4}=\dfrac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$

como $\sqrt{3}\approx1,7$, então

$A\approx3\cdot1,7\\\\A\approx5,19cm^2$ e o inteiro mais proximo de 5,19 é $5cm^2$