Question

1.Sejam f e g duas funções tais que f(13)=6, f′(13)=6, g(13)=−1 e 0Sejam u e v funções definidas por u(x)=f(x)g(x), e v(x) = f(x)/g(x). É correto afirmar que:
Escolha uma:
A. u'(13) < v'(13)
B. u'(13) > -6
C. u'(13) v'(13) >36
D. v'(13) < -36
E. v'(13) > -6
2. Sejam f(x), g(x) e h(x) três funções deriváveis definidas em ℝ tal que h(x)≠0. Considere a função: p(x)= (f(x)^6 g(x)^5 h(x))/h(x) Sabe-se que f(7)=g(7)=h(7)=1 e que f′(7)=−5, g′(7)=7 e h′(7)=7. O valor de p′(7) é:
A. -2 B. -4 C. -1 D. -7 E. 1

3. Sejam f(x)=ln(6+sen(αx)), g(x) e h(x)=f(x)g(x) funções diferenciáveis em x=0. Sabe-se que g(0)=6ln6 g′(0)=−3 e h′(0)=7ln(6). O valor de 6α é Escolha uma:
A. 60 B. 72 C. 66 D. 78 E. 84

4. Sejam f(x)=(5x+15)/ (x²+3), g(x) e h(x)=(g(f(x)))² funções diferenciáveis definidas em ℝ. Sabe-se que g(n)=n−2 e g′(n)=3−n para todo valor inteiro n. O valor de h′(1) é
A. 63/4 B. 60/4 C. 64/4 D. 62/4 E. 66/4

5. Seja c número real tal que no ponto de interseção dos gráficos y=4x²−11x+c e y=1/3 *lnx as respectivas retas tangentes sejam perpendiculares. O valor de c é
A. 8 B. 10 C. 5 D. 7 E. 3

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas técnicas de derivação e propriedades estudadas.

1. Sejam as funções $u(x)=f(x)\cdot g(x)$ e $v(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$, tal que

$\begin{cases}f(13)=f'(13)=6\\g(13)=-1\\g'(13)>0\\\end{cases}$.

Derivamos estas funções, aplicando as regras:

• Regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• Regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$.

Teremos: $u'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$ e $v'(x)=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$.

Substituindo o ponto $x=13$, teremos:

$u'(13)=f'(13)\cdot g(13)+f(13)\cdot g'(13)$  e $v'(x)=\dfrac{f'(13)\cdot g(13)-f(13)\cdot g'(13)}{g(13)^2}$

Substituindo os valores que nos foram dados

$u'(13)=6\cdot (-1)+6\cdot 0$ e $v'(13)=\dfrac{6\cdot (-1)-6\cdot g'(13)}{(-1)^2}$

Multiplique os valores e calcule a potência

$u'(13)=-6$ e  $v'(13)=-6-6g'(13)$

Como $g'(13)>0$, seu valor é positivo e isto torna $v'(13)<-6$.

Veja que ao multiplicarmos $u'(13)\cdot v'(13)$, teríamos um valor positivo visto que ambas as funções têm valores negativos. Logo:

$u'(13)\cdot v'(13)>36$ e nossa resposta será a letra c).

2. Seja a função racional $p(x)=\dfrac{f(x)^6\cdot g(x)^5}{h(x)}$, tal que

$\begin{cases}f(7)=g(7)=h(7)=1\\f'(7)=-5\\ g'(7)=h'(7)=7\\\end{cases}$

Aplicamos a regra do quociente e do produto, como vimos anteriormente, e a regra da cadeia: $f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.

Lembre-se também da regra da potência $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$. Assim, teremos:

$p'(x)=\dfrac{(6\cdot f(x)^5\cdot f'(x)\cdot g(x)^5+5\cdot g(x)^4\cdot g'(x)\cdot f(x)^6)\cdot h(x)-h'(x)\cdot f(x)^6\cdot g(x)^5}{h(x)^2}$

Substituindo $x=7$ e os valores dados no enunciado, temos:

$p'(7)=\dfrac{(6\cdot f(7)^5\cdot f'(7)\cdot g(7)^5+5\cdot g(7)^4\cdot g'(7)\cdot f(7)^6)\cdot h(7)-h'(7)\cdot f(7)^6\cdot g(7)^5}{h(7)^2}\\\\\\ p'(7)=\dfrac{(6\cdot 1^5\cdot (-5)\cdot 1^5+5\cdot 1^4\cdot 7\cdot 1^6)\cdot 1-7\cdot 1^6\cdot 1^5}{1^2}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$p'(7)=-30+35-7$

Some os valores

$p'(7)=-2$

Esta é a resposta contida na letra a).

3. Sabendo que $f(x)=\ln(6+\sin(\alpha x))$ e $h(x)=f(x)\cdot g(x)$, tal que

$\begin{cases}g(0)=6\ln(6)\\g'(0)=-3\\h'(0)=7\ln(6)\\\end{cases}$

Derivamos as funções $f(x)$ e $h(x)$, utilizando a regra da cadeia e do produto:

$f'(x)=(6+\sin(\alpha x))'\cdot \dfrac{1}{6+\sin(\alpha x)}$ e $h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

Aplique a regra da soma e da cadeia novamente em $f'(x)$, sabendo que $\dfrac{d}{dx}(a)=0$ e $\dfrac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)$.

$f'(x)=\dfrac{\alpha\cdot\cos(\alpha x)}{6+\sin(\alpha x)}$

Substituindo $x=0$ e utilizando os valores que forma dados, temos

$h'(0)=f'(0)\cdot g(0)+f(0)\cdot g'(0)\\\\\\ 7\ln(6)=\dfrac{\alpha \cos(\alpha\cdot 0)}{6+\sin(\alpha\cdot 0)}\cdot 6\ln(6)+\ln(6+\sin(\alpha\cdot 0))\cdot (-3)$

Multiplique os valores e calcule, sabendo que $\cos(0)=1$ e $\sin(0)=0$

$7\ln(6)=\alpha\cdot \ln(6)-3\ln(6)$

Dividindo ambos os lados da equação por $\ln(6)$, temos

$\alpha-3=7$

Some $3$ em ambos os lados da equação

$\alpha=10$

Como buscávamos o valor de $6\alpha$, substituímos

$6\cdot 10=60$

Esta é a resposta contida na letra a).

4. Sejam $f(x)=\dfrac{5x+15}{x^2+3}$ e $h(x)=(g(f(x)))^2$, tal que

$\begin{cases}g(n)=n-2\\ g'(n)=3-n,~\forall{n}\in\mathbb{Z}\\\end{cases}$

Derivamos as funções $f(x)$ e $h(x)$ utilizando a regra do quociente e da cadeia

$f'(x)=\dfrac{5\cdot(x^2+3)-2x\cdot(5x+15)}{(x^2+3)^2}$ e $h'(x)=2\cdot g(f(x))\cdot f'(x)\cdot g'(f(x))$.

Substituindo $x=1$, temos

$h'(1)=2\cdot g(f(1))\cdot f'(1)\cdot g'(f(1))$

Calculando os valores, vemos que $f(1)=5$ e $f'(1)=-\dfrac{5}{4}$, logo

$h'(1)=2\cdot g(5)\cdot\left(-\dfrac{5}{4}\right)\cdot g'(5)$

Aplicando as fórmulas dada para $g(x)$ e $g'(x)$ com $n=5$, temos

$h'(1)=2\cdot (5-2)\cdot\left(-\dfrac{5}{4}\right)\cdot (3-5)$

Some e multiplique os valores

$h'(1)=2\cdot 3\cdot\left(-\dfrac{5}{4}\right)\cdot (-2)\\\\\\h'(1)=\dfrac{60}{4}$

Esta é a resposta contida na letra b).

Acompanhe a resolução da quarta questão em PDF:

bd663716b2ba3c1f91d28d8c6bd7a4cf.pdf