Question

1. Seja f(x)=a.2(b.x), onde a e b são constantes reais. Dados: f(0)= 400; e f(10)= 200. Calcule k tal que f(k)= 100

Answer 1

Vamos lá.

i) Renally, pelo que estamos entendendo a expressão da sua questão estaria escrita da seguinte forma (se não for você avisa, ok?):

f(x) = a*2ᵇˣ

ii) Agora vamos às informações fornecidas sobre a função acima. Sabe-se que: 

f(0) = 400
f(10) = 200

iii) Pede-se o valor de "k", sabendo-se que f(k) = 100.

iv) Vamos trabalhar com a expressão acima e substituindo-se o "x" pelas informações de que já dispomos. A expressão é esta:

f(x) = a*2ᵇˣ 

iv.1) Como f(0) = 400, então vamos substituir o "x" por "0" e f(x) por "400", ficando assim: 

400 = a*2ᵇ*⁰ ----- como b*0 = 0, ficaremos com:
400  = a*2⁰ ---- como 2⁰ = 1, ficaremos com:
400 = a*1 --- ou apenas:
400 = a ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos: 
a = 400 <--- Este é o valor de "a".

iv.2) Como f(10) = 200, então substituiremos "x" por "10" e f(x) por "200", ficando assim:

200 = a*2ᵇ*¹⁰ ------ como já vimos que a = 400, ficaremos com:
200 = 400*2¹⁰ᵇ ---- vamos apenas inverter, ficando assim:
400*2¹⁰ᵇ = 200 ----- isolando "2¹⁰ᵇ" ficaremos com:
2¹⁰ᵇ = 200/400 ---- simplificando-se numerador e denominador por 200, ficaremos apenas com:

2¹⁰ᵇ = 1/2 ----- note que  ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*2¹⁰ᵇ = 1 ---- note que o "2" que está sem expoente no 1º membro tem, na verdade expoente igual a "1"; e o "1" que está no 2º membro poderá ser substituído por 2⁰ , pois todo número diferente de zero, quando está elevado a zero é igual a "1". Logo, ficaremos assim: 

2¹*2¹⁰ᵇ = 2⁰ ----- note que 2¹*2¹⁰ᵇ = 2¹⁰ᵇ⁺¹ . Assim, substituindo, temos:
2¹⁰ᵇ⁺¹ = 2⁰ ------ como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Logo: 

10b + 1 = 0 
10b = - 1 
b = - 1/10 <---- Este será o valor de "b".


v) Como já sabemos que "a = 400" e que "b = -1/10", então a nossa expressão f(x) ficará sendo esta:

f(x) = 400*2⁽⁻¹/¹⁰⁾*ˣ  ---- ou apenas: 
f(x) = 400*2⁽⁻ˣ/¹⁰⁾  <--- Esta será a expressão que vamos utilizar para encontrar o valor de "k", pois já sabemos que f(k) = 100. Assim teremos, ao substituirmos o "x" por "k":

f(k) = 400*2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾  ---- mas como f(k) = 100, então substituiremos f(k) por 100, ficando assim:


100 = 400*2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾  ------ vamos apenas inverter, ficando:


400*2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾ = 100 ---- isolando "2⁻ᵏ/¹⁰" , iremos ficar assim:


2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾ = 100/400 ---- simplificando-se numerador e denominador por 100, iremos ficar da seguinte forma:

2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾ = 1/4 ---- note que 1/4 = 1/2² ----- assim, ficaremos:

2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾ = 1/2² ---- multiplicando-se  em cruz, teremos:

2²*2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾ = 1    ---- note que 2²*2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾ = 2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾⁺² . Logo, ficaremos com:

2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾⁺² = 1 ---- note que "1" poderá ser substituído por 2⁰ (lembre-se: todo número diferente de zero, quando está elevado a zero é igual a "1"):

2⁽⁻ᵏ/¹⁰⁾⁺² = 2⁰    ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo, ficaremos assim:

(-k/10) + 2 = 0 ---- passando "2" para o 2º membro, teremos:

-k/10 = - 2 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos

k/10 = 2   --- multiplicando-se em cruz, teremos:

k = 10*2

k = 20 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de "k".


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.