Question

1) Seja a ≠ 0. Dos conjuntos descritos abaixo, apenas é uma base V^3. Qual deles?
a) {(a,a,a),(0,0,a),(1,1,-6)}
b) {(0,1,0),(0,a,a),(0,0,1/2)}
c) {(a,0,1),(0,0,a),(a,a,a)}
d) {(1,1,1),(−1, − 1,a),(1,1,0)}
e) {(1,a,2),(1,0,0),(a,a^2,2a)}

2) Fixemos os pontos A = (x1,y1,z1), B = (x2,y2,z2) e C = (x3,y3,z3). Considere as afirmações abaixo, e em seguida assinale a alternativa correta.
i) Se
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3 = 0, então A,B e C são colineares.
(ii) Se A,B e C são colineares, então
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3 = 0.
(iii) As coordenadas do ponto P, simétrico de A em relação a C, são P = (2x3 − x1, 2y3 − y1,2z3 − z1)
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.

Answer 1

Para ser base de V^3 ≠ 0.

1) a) $\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&0&1\\1&1&-6\end{array}\right] = 0\\Falso$

b) $\left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&1&1\\0&0&\frac{1}{2} \end{array}\right] = 0\\Falso$

c) $\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&0&1\\1&1&1\end{array}\right] = -1\\Verdadeiro$

d) $\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\-1&-1&1\\1&1&0\end{array}\right] = 0 \\Falso$

e) $\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&0&0\\1&1^{2} &2.1\end{array}\right] = 0\\Falso$

Letra C).

2) i) Falsa, pois x = (1,0,0), y = (0,1,0), z = (0,0,0) não são colineares, mesmo que $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right] = 0$

ii) Verdadeira, ->OA, ->0B, ->OC, O origem, A,B,C colineares: ->OA,->OB,->OC mesmo plano, logo L.D, então $\left[\begin{array}{ccc}x1&y1&z1\\x2&y2&z2\\x3&y3&z3\end{array}\right] = 0$

iii) Verdadeira, fórmula ponto médio, XC = XA+XP/2 = XP = X1+X3/2 = 2X3 - X1 = Isola P = P = (2X3-X1) e assim por diante que dá: P = (2x3-x1, 2y3-y1, 2z2-z1).

Letra D).