Matemática, perguntado por natalygabriele5480, 1 ano atrás

1) Se o comprimento de uma circunferência for 2π cm, qual será o comprimento de um arco dessa circunferência de:
a) 180º =
b) 90º =
c) 60º =
d) 30º =
2) Faça as conversões pedidas abaixo, usando a correspondência entre graus e radianos:
a) 30º em radianos; =
b) 3 π/ 4 rad em graus; =
c) 1 rad em graus; =
d) 1 grau em radiano. =
3) Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 centímetros de comprimento contido em uma circunferência de raio 8 centímetros.
4) Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido em uma circunferência de raio 3 cm.
5) Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45° contido em uma circunferência de raio 2 cm?
6) Determine o ângulo, em radianos, em cada item.

a)

b)
7) Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60º. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve?

Soluções para a tarefa

Respondido por jplivrosng

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a) 180º = $\pi$ cm

b) 90º = $\frac{\pi}{2}$ cm

c) 60º = $\frac{\pi}{3}$ cm

d) 30º = $\frac{\pi}{6}$ cm

a) 30º em radianos; = $\frac{\pi}{6} \,rad$

b) 3 π/ 4 rad em graus; = 135º

c) 1 rad em graus; = 57,2958 º

d) 1° em radiano. = 0,0174533 rad

3) 2,5 rad

O comprimento de arco é dado por $s=r\times \theta$

Portanto o angulo será $\theta=\frac{s}{r}=\frac{20}{8}=2,5$

4) 5 rad

O comprimento de arco é dado por $s=r\times \theta$

Portanto o angulo será $\theta=\frac{s}{r}=\frac{15}{3}=5$

5) $\bf\frac{\pi}{2}$ cm

45º equivale a $\frac{1}{8}$ da circunferencia (veja que 45*8=360)

se a circunferencia tem raio 2, então $C=4\pi$ cm

Já os 45º terão medida $\frac{4\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$

6) faltam os ítens.

7) comprimento $5\pi$

Tendo 15 cm de comprimento, o pendulo descreve um circulo (completo) de comprimento $30\pi$

como os extremos do pendulo formam 60º, então este arco corresponde a $\frac{1}{6}$ de uma circunferencia. Ou seja, $30\pi\times\frac{1}{6}=\frac{30}{6}\pi=5\pi$

Respondido por Usuário anônimo

Utilizando diversas formulações de trigonometria básica, podemos resolver cada um das questões abaixo de formas diferentes, veja:

1)

Quando temos uma circunferência e queremos descobrir seu valor de arco, primeiramente devemos encontrar o valor do seu raio, para isto vamos utilizar a seguinte formulação:

$C=2\cdot \pi \cdot R$

Onde C é o comprimento da circunferência e R é o valor do raio. Como já sabemos que esta cricunferência vale 2π cm, então podemos substituir e isolar para encontrarmos R:

$2\pi=2\cdot \pi \cdot R$

$1 = R$

Agora sabendo que o raio vale 1 cm, podemos utilizar este na formula que calcula o comprimento de um arco, com base no valor do angulo em graus:

$S=R.\frac{\theta \cdot \pi}{180}$

Substituindo os valores que nos foram dados, temos:

a)

$S_{180}=1.\frac{180 \cdot \pi}{180}=\pi$

Assim 180º tem um arco de π cm.

b)

$S_{90}=1.\frac{90 \cdot \pi}{180}=\frac{\pi}{2}$

Assim 90º tem um arco de π/2 cm.

c)

$S_{60}=1.\frac{60 \cdot \pi}{180}=\frac{\pi}{3}$

Assim 60º tem um arco de π/3 cm.

d)

$S_{30}=1.\frac{60 \cdot \pi}{180}=\frac{\pi}{6}$

Assim 30º tem um arco de π/6 cm.

2)

A conversão de graus para radianos e vice versa parte do exato mesmo príncipio: 180º equivale a π radianos.

Ou seja, para resolver esta questão é muito simples, quando tivermos um angulo em radianos, basta dividir por π rad, para eliminarmos a medida em radianos e multiplicar por 180º para acrescentarmos a medida em graus.

E quando o angulo estiver em graus, fazemos o contrário: dividimos por 180º para eliminar os graus e multiplicamos por π rad para acrescentarmos a medida em radianos.

Com isso podemos resolver as questões:

a)

$30^o=\frac{30 \cdot \pi}{180}=\frac{\pi}{6}\, rad$

Assim 30º é π/6 radianos.

b)

$\frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi\cdot 180}{4\pi}=135^o$

Assim 3π/4 radianos é 135º.

c)

$1\, rad = 1\cdot \frac{180}{\pi}=57.32^o$

Assim 1 radiano é aproximadamente 57,32º.

d)

$1^o=\frac{1 \cdot \pi}{180}=\frac{\pi}{180}\, rad$

Assim 1º é π/180 radianos.

3)

Voltando a primeira questão, sabemos que quando temos um arco S de circunferência, podemos calcular sua medida com base no seu angulo central dado pela equação:

$S=R.\frac{\theta \cdot \pi}{180}$

Porém esta equação é para angulos em graus, para angulos em radianos é ainda mais simples, esta é dada por:

$S=R \cdot \theta$

Assim substituindo nosso arco por 20 cm e nosso raio por 8 cm, podemos encontrar este angulo:

$S=R \cdot \theta$

$20=8 \cdot \theta$

$\frac{20}{8} = \theta$

$\theta = 2.5$

Assim temos que este angulo é de 2,5 radianos.

4)

Da mesma forma que a questão anterior vamos, utilizar a formulação de conversão de angulos em arco dada em radianos como:

$S=R \cdot \theta$

Porém agora subsituindo o arco por 15 cm e o raio por 3 cm:

$S=R \cdot \theta$

$15=3 \cdot \theta$

$\frac{15}{3} = \theta$

$\theta = 5$

Assim temos que este angulo é de 5 radianos.

5)

Para este tipo de situação, voltamos a questão inicial onde utilizamos angulos em graus, assim a formula que calcula um arco S , para um angulo central θ em graus de uma circunferência de raio R, é dada por:

$S=R.\frac{\theta \cdot \pi}{180}$

Assim nesta, substituindo o angulo por 45º e o raio por 2 cm, temos que:

$S=R.\frac{\theta \cdot \pi}{180}$

$S=2.\frac{45 \cdot \pi}{180}$

$S=\frac{90 \cdot \pi}{180}$

$S=\frac{\pi}{2}$

E ainda substituindo pi por 3,14 podemos estimar este comprimento:

$S=\frac{3.14}{2}= 1,57$

Assim este arco tem π/2 ou aproximadamente 1,57 cm.

6)

Alguns não informados.

7)

Vamos pensar, se girarmos completamente um pendulo, este vira um circulo onde o seu raio é o comprimento do pendulo, ou seja, neste caso o raio desta cricunferência é o próprio comprimento de 15 cm.

E como este só varia 60º de oscilação, então este é um angulo central.

Assim podemos com estes valores utilizar a formula de arco de circunferência (em graus) novamente como:

$S=R.\frac{\theta \cdot \pi}{180}$

Substituindo nossos valores, temos que:

$S=15.\frac{60 \cdot \pi}{180}$