Question

1- Se a = 3 e b = 16, qual será o valor de x?
2- Se a = 10 e considerando √(2 ~ 1,41, qual será o valor de x?
3- Se r = 7 cm e considerando √(3 ~ 1,73, qual é a área, em cm2, da parte destacada na figura 3?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Thalita, que a resolução parece ser mais ou menos simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Na 1ª questão basta que você aplique a lei dos cossenos, segunda a qual tem-se:

a² = b² + c² - 2bc.cos(A), em que "a", "b" e "c" são as medidas dos lados do triângulo e "A" é o ângulo oposto ao lado "a". Assim, vendo o triângulo da 1ª questão, em que já sabemos que o lado "a" mede "3" e o lado "b" mede 16 e o lado oposto ao ângulo de 60º é o lado "x". Assim, teremos:

x² = 3² + 16² - 2*3*16*cos(60º) ----- note que cos(60º) = 1/2. Assim teremos:

x² = 9 + 256 - 96*(1/2) ---- ou apenas:

x² = 265 - 96/2 ----- como "96/2 = 48", teremos:

x² = 265 - 48

x² = 217 -------- isolando "x", temos:

x = ± √(217) ----- como √(217) = 14,73 (aproximadamente), então poderemos "arredondar" para "15", com o que ficaremos:

x = ± 15 ----- mas como o lado do triângulo não é negativo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

x = 15 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão. Opção "E".

ii) Na 2ª questão, basta que apliquemos a lei dos senos, segundo a qual temos:

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)

Na relação acima, tem-se que "a", "b" e "c" são as medidas dos lados e "A", "B" e "C" são os ângulos opostos, respectivamente, aos lados "a", "b" e "c".

No triângulo da 2ª questão vamos ter que: a = 10 e ângulo A mede 45º; e o lado "c" é o "x" e o ângulo C mede 30º. Assim, teremos:

10/sen(45º) = b/sen(B) = x/sen(30º) ----- note que vamos precisar igualar apenas a primeira relação com a terceira, ficando assim:

10/sen(45º) = x/sen(30º) ----- como sen(45º) = √(2)/2 e sen(30º) = 1/2, teremos:

10/[√(2)/2] = x/[1/2] ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

(1/2)*10 = x*√(2)/2 ---- desenvolvendo, temos:

1*10/2 = x√(2)/2 ---- continuando o desenvolvimento, temos:10/2 = x√(2)/2

5 = x√(2)/2 ---- como foi dado que se considere √(2) = 1,41 , teremos:

5 = x*1,41 / 2 ---- multiplicando-se em cruz, temos:

2*5 = 1,41x

10 = 1,41x ---- ou invertendo-se, o que dá no mesmo,temos: 1,41x = 1 ---- isolando "x" temos:

x = 10/1,41 ---- note que esta divisão dá "7,09", o que poderemos "arredondar" para "7,1". Logo:

x = 7,1 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão. Opção "A".

iii) Na 3ª questão queremos a área do setor hachurado considerando-se o ângulo central de 120º da circunferência que tem raio = 7 cm.

Veja: primeiro vamos encontrar qual seria a área concernente ao arco de 120º. Para isso faremos a seguinte regra de três simples e direta: se a circunferência inteira (que mede 360º) tem uma área igual a π*r² (3,14*7² = 3,14*49 = 153,86), então a área relativa apenas ao arco de 120º terá uma área de "x", ou:

360º ------------------ 153,86

120º ------------------ x

Como a regra de três é simples e direta, então as razões comportar-se-ão naturalmente da seguinte forma:

360/120 = 153,86 / x ---- como 360/120 = 3 , teremos:

3 = 153,86 / x ---- multiplicando-se em cruz, temos:

3x = 153,86

x = 153,86/3

x = 51,3 (aproximadamente) <--- Esta é a área relativa ao arco de 120º.

Agora veja: para calcular apenas a parte hachurada, então vamos calcular a área desse setor hachurado calculando-se a área do triângulo isósceles que o determina. A área será dada por (basta multiplicar os dois lados adjacentes vezes o seno de 120º (que é o ângulo central e que forma o arco do setor hachurado), dividido por "2". Então teremos, chamando essa área de "A":

A = r*r*sen(120º)/2 ---- como r = 7 e como sen(120º) = √(3)/2 , teremos:

A = [7²*√(3)/2] / 2

A = 49√(3) / 2*2

A = 49√(3) / 4 ----- como foi recomendado que √(3) = 1,73 , teremos:

A = 49*1,73 / 4 ---- desenvolvendo, temos;

A = 84,80 / 4

A = 21,2 <---- Esta seria a área do triângulo isósceles.

Finalmente, agora vamos encontrar a área apenas do setor hachurado, que seria dada pela área do setor de 120º (51,3 aproximadamente) menos a área do triângulo isósceles (21,2 aproximadamente). Logo, teremos isto:

51,3 - 21,2 = 30,1 <--- Esta é a resposta para a 3ª questão. Opção "B".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.