Matemática, perguntado por gustavooppelt, 7 meses atrás


1. Sabendo que a função do 2º grau h(x) = 3x2 - 4x + k não possui raizes
reais, determine o valor de k.
*
a)k = 3/4
b)k>-1/4
c)k<-3/5
d) k> 4/3
e) k= 1/2 ajuda aí pfvr...​

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov
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Vejamos, dada a função h abaixo:

\\\boxed{\begin{array}{l}\sf h(x)=3x^2-4x+k\end{array}}\\\\

Sabemos pelo enunciado que ela não possui raízes reais. Mas o que isso quer dizer? Primeiro, para que você entenda, analise o que o delta nos diz em cada situação abaixo:

\begin{array}{l}\\\sf Se~~\Delta &gt; 0~\to~x'~e~x''\!\in\mathbb{R}~~com~~x'\neq x''\\\\\sf Se~~\Delta=0~\to~x'~e~x''\!\in\mathbb{R}~~com~~x'=x''\\\\\sf Se~~\Delta &lt; 0~\to~x'~e~x''\!\notin\mathbb{R}\\\\\end{array}

Ou seja, isso nos diz que:

  • Se delta for positivo, terá duas raízes reais e diferentes;
  • Se delta for nulo, terá uma só raiz real (duas raízes iguais e reais);
  • Se delta for negativo, não terá raízes reais.

Portanto, como queremos calcular o valor de k, para que o seu valor obedeça ao fato da função não possuir raízes reais, então devemos fazer Δ < 0. (Lembrando que Δ = b² - 4ac).

Antes vamos identificar os coeficientes da função já que precisamos deles:

\begin{array}{l}\sf h(x)=3x^2-4x+k\end{array}

temos que:

  • a = 3
  • b = - 4
  • c = k

Continuando...

\begin{array}{l}\sf\Delta &lt; 0\\\\\sf b^2-4ac &lt; 0\\\\\sf(-4)^2-4\cdot3\cdot k &lt; 0\\\\\sf16-12k &lt; 0\\\\\sf16-12k-16 &lt; 0-16\\\\\sf-12k &lt; -16\\\\\sf(-12k &lt; -16)\cdot(-1)\\\\\sf12k &gt; 16\\\\\sf\dfrac{12k}{12} &gt; \dfrac{16}{12}\\\\\sf k &gt; \dfrac{~~16^{\::\:4}}{~~12^{\::\:4}}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf k &gt; \dfrac{4}{3}}}\\\\\end{array}

R: então, k é maior que 4/3 (letra d). Assim, obedece ao fato da função h não possuir raízes reais.

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